数iiiの微分です、答えは出なくて良いので

質問

微分です解き方重視でお願いします。
次の関数を微分せよ。
(1)ｙ＝（ｅ＾ｘ＋ｅ＾－ｘ/e^x-e^-x)
(2)ｙ＝ｌｏｇ（ｘ＋２/ｘ－２）
対数微分法でｙ＝ｘ＾x（x>0）を微分せよ。

回答No.1

alice_44

(1)
y = (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x) でしょうかね？
地道に、微分公式を積み上げれば ok です。
商の微分から、
{(e^x + e^-x)/(e^x - e^-x)}'
= {(e^x + e^-x)'(e^x - e^-x) - (e^x + e^-x)(e^x - e^-x)'}/(e^x - e^-x)^2.
分子の二つの導関数は、
(e^x + e^-x)' = (e^x)' + (e^-x)' = e^x + (-e^-x) = e^x - e^-x,
(e^x - e^-x)' = (e^x)' - (e^-x)' = e^x - (-e^-x) = e^x + e^-x.
これを代入して、
y' = {(e^x - e^-x)(e^x - e^-x) - (e^x + e^-x)(e^x + e^-x)}/(e^x - e^-x)^2.
あとは、代数計算。
y' = -4/(e^x - e^-x)^2.

(2)
y = log( (x+2)/(x-2) ) でしょうかね？
これも、地道に微分公式を重ねて…
u = (x+2)/(x-2) = 1 + 4/(x-2) と置くと
u = log u だから、
dy/dx = (dy/du)(du/dx)
= (1/u){-4/(x-2)^2}
= {(x-2)/(x+2)}{-4/(x-2)^2}
= -4/{(x+2)(x-2)}.

(3)
y = p^q, p = x, q = x を、合成関数の微分法で…
dy/dx = (∂y/∂p)(dp/dx) + (∂y/∂q)(dq/dx)
= {q p^(q-1)}・1 + {(p^q)(log p)}・1
= (x^x)(1 + log x).

どうしても対数微分法を使うなら…
log y = x log x より、積の微分法を使って、
y'/y = 1・(log x) + x・1/x = (log x) + 1 で、
y' = y(1 + log x) = (x^x)(1 + log x).