微分（たびたびすみません）

質問

先日y = e^(1/x)のy'=について回答をいただいたのですが
参考書等を参考にして考えてみたのですが
基本的な問題だと思うのですが、まだ理解できず、すみませんがどなたかもう少し教えてください。

先日いただいた回答です（勝手に引用してすみません）
y = e^(1/x)　
⇔log(y) = 1/x

両辺をxで微分すると
y'/y = -1/(x^2)
y'　= -1/(x^2) * y ・・・(1)
これでy'が求まります...

・上記のlog(y) = 1/xはlog(x)' = 1/x　対数微分の微分から置き換える事ができるのですか？
だとすれば１度微分していることになるのですか？
・上記の両辺をxで微分で微分するとy'/yになるのはなぜですか？
大変すみません煮詰まってしまっています
よろしくお願い致します

回答No.4

zaki_shin · ベストアンサー

#2です。質問からは外れますが、根本にかえって、#1さんが仰る方法が、良いかもですね。

1/x=tとすると、
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
dy/dt=d(exp(t))/dt=exp(t)
dt/dx=-1/x^2

=> y'=-exp(1/x)/x^2

お礼

やっと解けました　そのほうが良さそうです。
ありがとうございます。

補足

すみません理解したつもりだったのですがやはり解けませんどなたかおしえてください。
t=1/x

y' = (t)' * (e^(t))'
y' = t * e^(t)
y' = (1/x) * e^(1/x)

y' = e^(1/x) / x
以上のようになるのですが・・・・
よろしくお願い致します。

回答No.3

komomomo

>・上記のlog(y) = 1/xはlog(x)' = 1/x　対数微分の微分から置き換える事ができるのですか？だとすれば１度微分していることになるのですか？

＃１さんの仰るように、y = e^(1/x)　の両辺の対数を取ると　log(y) = 1/x　になります。右辺のlog(e^(1/x)) ですが、log(a^b) = b*log(a) という性質と、log(e) = 1 という性質を利用しています。

>・上記の両辺をxで微分で微分するとy'/yになるのはなぜですか？

＃２さんの仰るように、チェーンルールという法則を使っています。

少しでも参考になれば嬉しいです。頑張ってね。

お礼

log(a^b) = b*log(a) という性質と、log(e) = 1　を使用することができず　わからなかったので　この性質を理解できわかりました大変ありがとうございます。

回答No.2

zaki_shin

df(y(x))/dx=(df/dy)*(dy/dx)
ここで、ｆ=log(y)であるとすると、
df/dy=1/y, dy/dx=y'であるから、
d(log(y(x)))/dx= y'/y

回答No.1

wondercraw

y = e^(1/x)　
⇔log(y) = 1/x
は両辺の対数とっただけで
微分は関係ないでしょ・・・

2つ目に付いては　私もよくわからないですね
というか　よくわからないもんを
参照されてもねぇ
　前回の質問で　補足質問すべき話でしょ？

最初の式で　
t=1/X　とおいて
合成関数の微分で
解いたほうが得策じゃないですか？

お礼

的確な回答ありがとうございました