三角関数の微分

質問

y=sin2xを合成関数の微分法により

y'=(sin2x)'*(2x)'=cos2x*2=2cos2x

とあったのですが、y=sin2xが何で合成関数なんですか。
私の理解では、合成関数とは関数の中に関数が入ったようなものと
おもっていたのですが。

回答No.3

felicior · ベストアンサー

No.1の者です。

＞合成関数の微分公式が　{g(f(x))}'=g'(f(x))f'(x)　と書いてあるのですが、
＞y'=(sin2x)'*(2x)'の(sin2x)'と(2x)'は、それぞれ
＞g'(f(x))f'(x)のなかの、どの部分に当てはまるのでしょうか。

先ほどのtを使えば
y=g(t)＝sint
t=f(x)＝2x
ということです。なので、
g'(t)＝(sint)'＝cost
f'(x)＝(2x)'＝2

公式に代入すると
{g(f(x))}'＝g'(f(x))f'(x)＝cost×2＝2cos2x
ですね。

ちょっと記号の使い方が混乱していると思います。
y=g(f(x))
と書いたとき、tが書いてなくても、
gはyとtの関係式、fはtとxの関係式ということを意味するので、
g'というのはyを「tで」微分、f'というのは「tを」xで微分です。なので
g'(f(x))
は微分した後のg'(t)=costにt=2xを代入したものを意味します。

ところが
{g(f(x))}'
という書き方は、{}の中が何の文字についての式なのかを把握した上で、
その文字について微分するという意味で使われます。
g(f(x))はまずg(t)にt=f(x)を代入しているのでこの時点でxの式となり、
「xで」微分することになります。
つまり、gとfの合成関数（つまり分解する前の関数）をy=h(x)とした時のh'(x)のことです。

よってご質問の式の
＞y'=(sin2x)'*(2x)'
は間違いで、正しくは
y'=(sint)'*(2x)'
と書かないといけません。
わかるでしょうか・・・。

同じ微分の記号「’」でも、関数を表す文字についているか、数式全体についているかで
意味が変わってくることに注意して下さい。

お礼

回答ありがとうございました。何回もfeliciorさんの回答を読み返して
だんだん疑問が解決していきました。

回答No.2

R_Earl

> 私の理解では、合成関数とは関数の中に関数が入ったようなものと
> おもっていたのですが。

質問者さんが想定している関数は、とても複雑な形をしていませんか？
y = log(x^3 + 2x^2 - x + 23)なら、この関数は
f(x) = logxとg(x) = x^3 + 2x^2 - x + 23の合成関数だと分かりますよね。
今回の話も、これと全く一緒です。
先ほどの「log」が今回の「sin」に対応し、
「x^3 + 2x^2 - x + 23」が今回の「2x」に対応しています。

f(x) = sinx
g(x) = 2xなら、
f( g(x) ) = sin( g(x) ) = sin2x
よってsin2xは、f(x) = sinxとg(x) = 2xの合成関数ですよね。

以下余談です。
考えようによっては
f(x) = x
g(x) = sin2xの時、
f( g(x) ) = (sin2x) = sin2xなので、
sin2xはf(x) = xとg(x) = sin2xの合成関数だと考えることもできます。
また、
f(x) = (1/2)x
g(x) = 2sin2xの時、
f( g(x) ) = sin2xなので、
sin2xはf(x) = (1/2)xとg(x) = 2sin2xの合成関数だと考えることもできます。

y = xという関数は、f(x) = xとg(x) = xの合成関数だと考えることもできます。
また、y = xという関数は、f(x) = 3xとg(x) = (1/3)xの合成関数だと考えることもできます。
どちらも、f( g(x) ) = xとなりますよね。

お礼

回答ありがとうございました。おかげさまで疑問点が解決しました。

回答No.1

felicior

ご質問の関数は

y=sint
t=2x

と分解できます。
このt=2xは比例関数ですね。比例も立派な関数です。

お礼

なるほど、y=sin2xが合成関数であることは理解できました。では、
合成関数の微分公式が　{g(f(x))}'=g'(f(x))f'(x)　と書いてあるのですが、y'=(sin2x)'*(2x)'の(sin2x)'と(2x)'は、それぞれ
g'(f(x))f'(x)のなかの、どの部分に当てはまるのでしょうか。