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三角関数の微分

y=sin2xを合成関数の微分法により y'=(sin2x)'*(2x)'=cos2x*2=2cos2x とあったのですが、y=sin2xが何で合成関数なんですか。 私の理解では、合成関数とは関数の中に関数が入ったようなものと おもっていたのですが。

質問者が選んだベストアンサー

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  • felicior
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回答No.3

No.1の者です。 >合成関数の微分公式が {g(f(x))}'=g'(f(x))f'(x) と書いてあるのですが、 >y'=(sin2x)'*(2x)'の(sin2x)'と(2x)'は、それぞれ >g'(f(x))f'(x)のなかの、どの部分に当てはまるのでしょうか。 先ほどのtを使えば y=g(t)=sint t=f(x)=2x ということです。なので、 g'(t)=(sint)'=cost f'(x)=(2x)'=2 公式に代入すると {g(f(x))}'=g'(f(x))f'(x)=cost×2=2cos2x ですね。 ちょっと記号の使い方が混乱していると思います。 y=g(f(x)) と書いたとき、tが書いてなくても、 gはyとtの関係式、fはtとxの関係式ということを意味するので、 g'というのはyを「tで」微分、f'というのは「tを」xで微分です。なので g'(f(x)) は微分した後のg'(t)=costにt=2xを代入したものを意味します。 ところが {g(f(x))}' という書き方は、{}の中が何の文字についての式なのかを把握した上で、 その文字について微分するという意味で使われます。 g(f(x))はまずg(t)にt=f(x)を代入しているのでこの時点でxの式となり、 「xで」微分することになります。 つまり、gとfの合成関数(つまり分解する前の関数)をy=h(x)とした時のh'(x)のことです。 よってご質問の式の >y'=(sin2x)'*(2x)' は間違いで、正しくは y'=(sint)'*(2x)' と書かないといけません。 わかるでしょうか・・・。 同じ微分の記号「’」でも、関数を表す文字についているか、数式全体についているかで 意味が変わってくることに注意して下さい。

HotDrink
質問者

お礼

回答ありがとうございました。何回もfeliciorさんの回答を読み返して だんだん疑問が解決していきました。

その他の回答 (2)

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.2

> 私の理解では、合成関数とは関数の中に関数が入ったようなものと > おもっていたのですが。 質問者さんが想定している関数は、とても複雑な形をしていませんか? y = log(x^3 + 2x^2 - x + 23)なら、この関数は f(x) = logxとg(x) = x^3 + 2x^2 - x + 23の合成関数だと分かりますよね。 今回の話も、これと全く一緒です。 先ほどの「log」が今回の「sin」に対応し、 「x^3 + 2x^2 - x + 23」が今回の「2x」に対応しています。 f(x) = sinx g(x) = 2xなら、 f( g(x) ) = sin( g(x) ) = sin2x よってsin2xは、f(x) = sinxとg(x) = 2xの合成関数ですよね。 以下余談です。 考えようによっては f(x) = x g(x) = sin2xの時、 f( g(x) ) = (sin2x) = sin2xなので、 sin2xはf(x) = xとg(x) = sin2xの合成関数だと考えることもできます。 また、 f(x) = (1/2)x g(x) = 2sin2xの時、 f( g(x) ) = sin2xなので、 sin2xはf(x) = (1/2)xとg(x) = 2sin2xの合成関数だと考えることもできます。 y = xという関数は、f(x) = xとg(x) = xの合成関数だと考えることもできます。 また、y = xという関数は、f(x) = 3xとg(x) = (1/3)xの合成関数だと考えることもできます。 どちらも、f( g(x) ) = xとなりますよね。

HotDrink
質問者

お礼

回答ありがとうございました。おかげさまで疑問点が解決しました。

  • felicior
  • ベストアンサー率61% (97/159)
回答No.1

ご質問の関数は y=sint t=2x と分解できます。 このt=2xは比例関数ですね。比例も立派な関数です。

HotDrink
質問者

お礼

なるほど、y=sin2xが合成関数であることは理解できました。では、 合成関数の微分公式が {g(f(x))}'=g'(f(x))f'(x) と書いてあるのですが、y'=(sin2x)'*(2x)'の(sin2x)'と(2x)'は、それぞれ g'(f(x))f'(x)のなかの、どの部分に当てはまるのでしょうか。

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