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合成関数を2回偏微分するやり方?がわかりません;;
y=r * sinθ x=r * cosθ とすると 合成関数の偏微分法から ∂f/∂r=cosθ*(∂f/∂x) + sinθ*(∂f/∂y) となります。 もう一回微分して ∂^2f/∂r^2= cos^2θ*(∂^2f/∂x^2) + sin^2θ* (∂^2f/∂y^2)+ 2sinθcosθ(∂^2f/∂x∂y) になります。 なんで 2回微分したときに cos^2θ とか sin^2θ とか出てくるんですか? よくわからないので くわしくおしえてほしいです;;
- izanamihack
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∂f/∂r=cosθ*(∂f/∂x)+sinθ*(∂f/∂y) ∂/∂r(∂f/∂r) =∂/∂r{cosθ*(∂f/∂x)} + ∂/∂r{sinθ*(∂f/∂y)} =cosθ*∂/∂r(∂f/∂x) + sinθ*∂/∂r(∂f/∂y) =cosθ*{(∂^2f/∂x^2)(∂x/∂r)+(∂^2f/∂x∂y)(∂y/∂r)} +sinθ*{(∂^2f/∂x∂y)(∂x/∂r)+∂^2f/∂y^2)(∂y/∂r)} =cosθ*{(∂^2f/∂x^2)cosθ+(∂^2f/∂x∂y)sinθ} +sinθ*{(∂^2f/∂x∂y)cosθ+∂^2f/∂y^2)sinθ} =cos^2θ*(∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂x∂y)cosθsinθ +sinθ*cosθ(∂^2f/∂x∂y)+sin^2θ*(∂^2f/∂y^2) =cos^2θ*(∂^2f/∂x^2)+sin^2θ*(∂^2f/∂y^2)+2cosθsinθ(∂^2f/∂x∂y) となるので >2回微分したときに cos^2θ とか sin^2θ とか出てくる というわけです。
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- Tacosan
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うん? 1階微分が ∂f/∂r=cosθ*(∂f/∂x) + sinθ*(∂f/∂y) となることを理解しているなら「2階微分で cos^2θ とか sin^2θ とかが出てくる理由がわからない」ということはありえないはずなんだけど.... なんで 1階微分で cos θ や sin θ が出てくるんですか?
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