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合成関数の微分法
以下に指定するf(x,y)とx(t),y(t)の合成関数f(x(t),y(t))の t=1での微分係数を求めなさい。 合成関数の微分法の公式をつかって計算すること。 (1) f(x,y)=√(x^2+y^2) および x(t)=t^2+2, y(t)=4t (2) f(x,y)=log(x^2+4y^2) および x(t)=te^t, y(t)=e^t/t (1)は自分でやってみて、22/5になりました。 (2)は皆目わかりません・・・ どなたか解答をお願いします。 (1)ももし間違っていたらそちらもお願いします>_<
- baby8star
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- alice_44
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そのとおりだ。 4/5 だね。
- Mr_Holland
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いろいろな回答がありますが、(2)は 4/5 だと思います。 x(1)=e, y(1)=e dx/dt=(1+t)exp(t) ∴dx/dt|(t=1) =2e dy/dt=(t-1)/t^2 exp(t) ∴dy/dt|(t=1) =0 df/dx=2x/(x^2+4y^2) ∴df/dx|(t=1) =2e/(5e^2)=(2/5)/e df/dy=8y/(x^2+4y^2) ∴df/dy|(t=1) =8e/(5e^2)=(8/5)/e df/dt=dx/dt df/dx + dy/dt df/dy ∴df/dt|(t=1) =2e×(2/5)/e+0×(8/5)/e =4/5
- alice_44
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(2) は、log(4/5) じゃないの? df/dt = { 2x(dx/dt) + 8y(dy/dt) } / ( x^2 + 4y^2 ) x = te^t dx/dt = e^t + te^t y = (e^t)/t dy/dt = (e^t)/t - (e^t)/t^2 に t = 1 を代入するんでしょう?
- sanori
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再びお邪魔します。 No.1様の回答と私の回答が不一致ですが、たぶん、私の方が間違えていると思います。
- sanori
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(1) f(t) = ((t^2+2)^2 + (4t)^2)^(1/2) = (t^4 + 4t^2 + 4 + 16t^2)^(1/2) = (t^4 + 20t^2 + 4)^(1/2) f'(t) = (4t^3 + 40t)・1/2・(t^4 + 20t^2 + 4)^(-1/2) f'(1) = (4 + 40)・1/2・(1 + 20 + 4)^(-1/2) = 44・1/2・25^(-1/2) = 44・1/2・1/5 = 22/5 同じになりました。 (2) f(t) = log(t^2・e^(2t) + 4e^t/t) = log{(e^t)(t^2・e^t + 4/t)} = log(e^t) + log(t^2・e^t + 4/t) ← logAB = logA + logB より = t + log(t^2・e^t + 4/t) f'(t) = 1 + (2t・e^t + t^2・e^t - 4/t^2)・1/(t^2・e^t + 4/t) ←積の微分、および、(logx)'= 1/x より f'(1) = 1 + (2・e + e - 4)/(e + 4) = 1 + (3e - 4)/(e + 4) = (e + 4 + 3e - 4)/(e + 4) = 4e/(e+4)
- info22_
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(1) >(1)は自分でやってみて、22/5になりました。 合っています。 (2) >f(x,y)=log(x^2+4y^2) および x(t)=te^t, y(t)=e^t/t df/dt=(2xdx/dt+2ydy/dt)/(x^2+y^2) =2{te^t*e^t*(1+t)+(e^t/t)*e^t*(t-1)/t^2}/{t^2*e^(2t)+(e^2t)/t^2} =2(t^5 +t^4 +t-1)/(t(t^4+ 1)) df/dt(t=1) = 2
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