合成関数の微分

質問

合成関数の微分に関する問題なのですが、

　f(x,y)をx=rcosθ、y=rsinθで変数変換し、f(x,y)=g(r,θ)としたとき、
∂f/∂x、∂f/∂yを∂g/∂r,∂g/∂θで表せ。

という問題がうまく解けません。合成関数の微分の公式を用いていけばよいと思うのですが、∂g/∂r,∂g/∂θがどうやって出てくるのかがわかりません。どなたか教えていただけませんでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

tonsaku

連鎖律は知っていますよね？
　∂g/∂r = (∂f/∂x)(∂x/∂r) + (∂f/∂y)(∂y/∂r)
　∂g/∂θ = (∂f/∂x)(∂x/∂θ) + (∂f/∂y)(∂y/∂θ)

∂x/∂r、∂x/∂θ、∂y/∂r、∂y/∂θは
x=rcosθ、y=rsinθから求まりますよね。

あとは２変数(∂f/∂x)と(∂f/∂y)の連立方程式です。
文字ばっかりでややこしいですが、どれが分かっている値でどれを求めるのか、よく考えて式変形してください。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。
連鎖率は知っていましたが、そうなるのですね。そこまで教えていただいたら、答えは出たようなものですね。大変助かりました、どうもありがとうございます。

回答No.1

Lokapala

∂g/∂r＝∂f/∂r=∂f/∂x*∂x/∂r+∂f∂y*∂y/∂r
ここまで書けばわかるのではないでしょうか。∂g/∂θから同じように求めていってください。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
なるほどです。後はわかりますので、自分で計算します。ありがとうございました。