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二変数関数微分
極座標変換をしてからx=rcosθ,y=rsinθにすれば わかりやすいときいたんですが ちょっと分からない問題がいくつかあるので アドバイスお願いします。 (1)極限が存在するかどうか調べよ lim((x,y)→(0,0)) xylog(x^2+y^2) (2)原点における連続性、偏微分可能性、微分可能性を求めよ。 f(x,y)=xysin(1/√(x^2+y^2))・・・((x,y)≠(0,0)) 0・・・((x,y)=(0,0)) です。１は極座標でやってみたのですが log rが残ってr→0にするとその部分が どうなるのかわからなくなってしまいました。 ２は微分可能の定義より f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+α√(h^2+k^2) で f(x+a,y+b)=√(1-a^2-b^2)-ax/√(1-a^2-b^2)-bx/√(1-a^2-b^2)+α√(a^2+b^2) よりαが存在するから微分可能。 よって連続、偏微分も可能である。 という解答でいいのでしょうか？ 自分的にはちょっと違うような気もするので教えて下さい。
- greenboy291295
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単なる修正もれ (1) 対数は自然対数とする sin(2・θ)・r^2・logrを考える 0<r<1のとき0<log(1/r)<1/r-1であるから r・(r-1)<r^2・log(r)<0 (2) 連続性: |f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y| 偏微分可能性: fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x ところでf(x,0)≡0 微分可能性: |f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)| ≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2
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- keyguy
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書き間違い (1) 対数は自然対数とする sin(2・θ)・r^2・logrを考える 0<r<1のとき1-1/r<log(r)<0であるから r・(r-1)<r・log(r)<0 (2) 連続性: |f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y| 偏微分可能性: fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x=0 微分可能性: |f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)| ≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2
- keyguy
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(1) 対数は自然対数とする sin(2・θ)・r^2・logrを考える 0<r<1のとき1/r-1<log(r)<0であるから r・(1-r)<r・log(r)<0 (2) 連続性: |f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y| 偏微分可能性: fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x=0 微分可能性: |f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)| ≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2
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