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偏微分関数の問題が分かりません!

大学で偏微分の問題が出されたのですが分かりません。教えてください!! [問]z=f(x,y)はC^2級で、x=rcosθ,y=rsinθとする。次の問いに答えよ。 ・x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y)=0の時、zはθに依存することを示せ。 ・(1/x)*(∂z/∂x) = (1/y)*(∂z/∂y)の時、zはrにのみ依存することを示せ。 ・(∂^2z/∂x^2) + (∂^2z/∂y^2) = (1/r)*(∂z/∂r) + (1/r^2)(∂^2z/∂θ^2) となることを示せ。

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  • alice_44
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合成関数の微分(多変数関数版)を使って、 ∂z/∂θ = - y(∂z/∂x) + x(∂z/∂y) となることを確認してください。 これは、必ず自分で計算してみること。 その上で… 一問目: z がθに依存しない…すなわち ∂z/∂θ = 0 であると 仮定すると、それを x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = 0 との連立一次方程式と見て、 x^2 + y^2 ≠ 0 のとき ∂z/∂x = ∂z/∂y = 0 となり、 z は定数であると解ります。 C^2 級であれば、f は連続ですから、 (x,y) = (0,0) も含めて z は定数です。 ということは、x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = 0 であるとき、 z は、定数でなければ、θに依存します。 二問目: (1/x)(∂z/∂x) - (1/y)(∂z/∂y) = 0 を通分すれば、 ∂z/∂θ = 0 に変形できますね。 三問目: 地味にコツコツ計算してください。 両辺を r と θ の式で表し、比較するとよいでしょう。

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