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偏微分の問題です

偏微分の問題です z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθ について、Z[x]とZ[xx] (zのxについての、1階偏微分と2階偏微分) をr,θ,Z[r],Z[θ]を用いて表したいのですが、後者のほうがわからなくて困っています。 前者は自分で計算したところ Zのxでの1階偏微分 Z[x] = Z[r] cosθ - 1/z * Z[θ] sin(θ) となりました。これもあっているか不安です。どなたか教えていただけると嬉しいです。

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Z[r]=Z[x]cosθ+Z[y]sinθ Z[θ]=Z[y]rcosθ-Z[x]rsinθ Z[y]sinθ=Z[r]-Z[x]cosθ Z[y]rcosθ=Z[θ]+Z[x]rsinθ Z[y]sinθ(Z[θ]+Z[x]rsinθ)=Z[y]rcosθ(Z[r]-Z[x]cosθ) sinθ(Z[θ]+Z[x]rsinθ)=rcosθ(Z[r]-Z[x]cosθ) Z[x]=Z[r]cos(θ)-(1/r)*Z[θ]sin(θ) Z[xr]=Z[rr]cos(θ)+(1/r^2)*Z[θ]sin(θ)-(1/r)*Z[θr]sin(θ) Z[xθ]=Z[rθ]cos(θ)-Z[r]sin(θ)-(1/r)*Z[θθ]sin(θ)-(1/r)*Z[θ]cos(θ) Z[xr]=Z[xx]cosθ+Z[xy]sinθ Z[xθ]=Z[xy]rcosθ-Z[xx]rsinθ Z[xx]=Z[xr]cos(θ)-(1/r)*Z[xθ]sin(θ) =(1/r)*Z[r](sin(θ))^2+(2/r^2)*Z[θ]cos(θ)sin(θ) +Z[rr](cos(θ))^2-(1/r)*(Z[θr]+Z[rθ])cos(θ)sin(θ)+(1/r)^2*Z[θθ](sin(θ))^2

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Z[x] = Z[r]*(dr/dx) + Z[θ]*(dθ/dx) です。で、 dr/dx = 1/(dx/dr) = 1/cosθ dθ/dx = 1/(dx/dθ) = -1/(r*sinθ) ですから、 Z[x] = Z[r]/cosθ - Z[θ]/(r*sinθ) になります。 同様に Z[xx] = Z[xr]*(dr/dx) + Z[xθ]*(dθ/dx)    = Z[xr]/cosθ - Z[xθ]/(r*sinθ) …(☆) です。で、 Z[xr] = ∂Z[x]/∂r = Z[rr]/cosθ - Z[θr]/(r*sinθ) + Z[θ]/(r^2*sinθ) Z[xθ] = ∂Z[x]/∂θ = (Z[rθ]cosθ + Z[r]sinθ)/(cosθ)^2 - (Z[θθ]sinθ - Z[θ]cosθ)/(r*(sinθ)^2) なんで、これを(☆)に代入すればいいでしょう。 手計算(というか画面上の計算)なんで、計算間違いがあるかもしれませんが。

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