偏微分の問題です

質問

偏微分の問題です

z=f(x,y)
x=rcosθ
y=rsinθ

について、Z[x]とZ[xx]
（zのxについての、１階偏微分と２階偏微分）

をr,θ,Z[r],Z[θ]を用いて表したいのですが、後者のほうがわからなくて困っています。

前者は自分で計算したところ

Zのxでの１階偏微分
Z[x] = Z[r] cosθ - 1/z * Z[θ] sin(θ)

となりました。これもあっているか不安です。どなたか教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

Z[r]=Z[x]cosθ+Z[y]sinθ
Z[θ]=Z[y]rcosθ-Z[x]rsinθ
Z[y]sinθ=Z[r]-Z[x]cosθ
Z[y]rcosθ=Z[θ]+Z[x]rsinθ
Z[y]sinθ(Z[θ]+Z[x]rsinθ)=Z[y]rcosθ(Z[r]-Z[x]cosθ)
sinθ(Z[θ]+Z[x]rsinθ)=rcosθ(Z[r]-Z[x]cosθ)

Z[x]=Z[r]cos(θ)-(1/r)*Z[θ]sin(θ)

Z[xr]=Z[rr]cos(θ)+(1/r^2)*Z[θ]sin(θ)-(1/r)*Z[θr]sin(θ)
Z[xθ]=Z[rθ]cos(θ)-Z[r]sin(θ)-(1/r)*Z[θθ]sin(θ)-(1/r)*Z[θ]cos(θ)
Z[xr]=Z[xx]cosθ+Z[xy]sinθ
Z[xθ]=Z[xy]rcosθ-Z[xx]rsinθ

Z[xx]=Z[xr]cos(θ)-(1/r)*Z[xθ]sin(θ)
=(1/r)*Z[r](sin(θ))^2+(2/r^2)*Z[θ]cos(θ)sin(θ)
+Z[rr](cos(θ))^2-(1/r)*(Z[θr]+Z[rθ])cos(θ)sin(θ)+(1/r)^2*Z[θθ](sin(θ))^2

お礼

詳しい回答をありがとうございました！
かなり丁寧でよくわかりました！

回答No.1

rabbit_cat

Z[x] = Z[r]*(dr/dx) + Z[θ]*(dθ/dx)
です。で、
dr/dx = 1/(dx/dr) = 1/cosθ
dθ/dx = 1/(dx/dθ) = -1/(r*sinθ)
ですから、
Z[x] = Z[r]/cosθ - Z[θ]/(r*sinθ)
になります。

同様に
Z[xx] = Z[xr]*(dr/dx) + Z[xθ]*(dθ/dx)
　　　= Z[xr]/cosθ - Z[xθ]/(r*sinθ)　…(☆)
です。で、
Z[xr] = ∂Z[x]/∂r = Z[rr]/cosθ - Z[θr]/(r*sinθ) + Z[θ]/(r^2*sinθ)
Z[xθ] = ∂Z[x]/∂θ = (Z[rθ]cosθ + Z[r]sinθ)/(cosθ)^2 - (Z[θθ]sinθ - Z[θ]cosθ)/(r*(sinθ)^2)
なんで、これを(☆)に代入すればいいでしょう。

手計算（というか画面上の計算）なんで、計算間違いがあるかもしれませんが。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！