球面座標表示での計算

質問

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
と置いたとき以下のように計算するのですが
θの部分微分のところで
なぜrが分母にくるのかわかりません。
初歩的な計算だと思います。

どなたか、ご指摘くださる方よろしくお願いします。

∂/∂x=∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x
∂/∂y=∂/∂r・∂r/∂y＋∂/∂θ・∂θ/∂y＋∂/∂φ・∂φ/∂y
∂/∂z=∂/∂r・∂r/∂z＋∂/∂θ・∂θ/∂z＋∂/∂φ・∂φ/∂z

r^2＝x^2＋y^2＋z^2
tanφ＝y/x
tan^2θ＝(x^2＋y^2)/z^2
から
∂r/∂x＝sinθcosφ
∂r/∂y＝sinθsinφ
∂r/∂z＝cosθ

∂θ/∂x＝cosθcosφ/r　　　　←ここ　
∂θ/∂y＝cosθsinφ/r　　　　←ここ
∂θ/∂z＝-sinθ/r　　　　　　　←ここ

∂φ/∂x＝-sinφ/rsinθ
∂φ/∂y＝cosφ/rsinθ
∂φ/∂z＝0
等が求まる。

∂/∂x=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθcosφ/r)∂/∂θー(sinφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂y=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθsinφ/r)∂/∂θ＋(cosφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂z=cosθ∂/∂rー(sinθ/r)∂/∂θ

これを
∇＝i∂/∂x＋j∂/∂y＋k∂/∂z

に代入して求めます。

つぎの式も丹念に計算していくと

∇＾２＝∂^2/∂r^2＋(2/r)∂/∂r
　　　　　＋(1/r^2sinθ)∂(sinθ∂/∂θ)/∂θ
　　　　　＋(1/rsinθ)^2・∂^2/∂φ^2

注意深く計算して行って下さい。途中間違えたら台無しです。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

＃１さんの回答では
∂r/∂x = sinθcosφ
を使っていますが、
(tanθ)^2 = (x^2 + y^2)/z^2
の両辺を偏微分すると、直接的に求める式を得られます。

例えば、x で偏微分すると
{2 tanθ/(cosθ)^2}∂θ/∂x = 2x/z^2。
これより
∂θ/∂x = {(cosθ)^3/sinθ}(x/z)/z
= {(cosθ)^3/sinθ}(sinθcosφ/cosθ)/(r cosθ)
= cosθcosφ/r。

お礼

ありがとうございました。
理解でき、解けました。
参考になりました。

回答No.1

hugen

z=rcosθ
∂z/∂x=∂r/∂x*cosθ+r∂cosθ/∂x
0=sinθcosφ*cosθ+r*(-sinθ)∂θ/∂x
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/polar-laplace/node8.html