ラプラスの方程式球面座標表示
あるサイトを参考に次の様な流れでラプラスの方程式の球面座標表示を導きたいのですが
途中の式が間違っているのか、最終的な式が導けません。
特に下の3の手順で私の式のやり方が間違っているのかもしれません。
正しいかどうかご指摘くださる方、よろしくお願いします。
>は自分のコメントです。
r=r(x,y,z)，θ=θ(x,y,z)，φ=φ(x,y,z)
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
まず，これらの式から
１．r^2，tanθ，tanφを計算．
> r^2 = x^2 + y^2 + z^2
> tan^2θ = (x^2+y^2)/z^2
> tanφ = y/x
２．１を偏微分することによって∂r/∂x,∂r/∂y,∂r/∂z,∂θ/∂x,∂θ/∂y,∂θ/∂z,∂φ/∂x,∂φ/∂yをすべてx,y,zで表現．あとでこれらの２階偏微分も必要になるが．
>∂r/∂x = sinθcosφ, ∂r/∂y = sinθsinφ, ∂r/∂z = cosθ
>∂θ/∂x = (cosθcosφ)/r, ∂θ/∂y = (cosθsinφ)/r, ∂θ/∂z = -sinθ/r
>∂φ/∂x = -sinφ/(r*sinθ), ∂φ/∂y = cosφ/(r*sinθ), ∂φ/∂z = 0
３．∂/∂x＝∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x
これをさらに偏微分して∂^2/∂x^2を偏微分の記号で表現．
ちょっとしんどいですがガッツ．
同様に∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2も計算．
>この∂^2/∂x^2, ∂^2/∂y^2，∂^2/∂z^2は単純に
>(∂/∂x)^2＝(∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x)^2
>(y, z同様)と計算しては間違いでしょうか？
４．∂^2/∂x^2＋∂^2/∂y^2＋∂^2/∂z^2を偏微分記号の表示のまままとめる．
５．２で求めたものを代入．すると意外に綺麗にまとめれるものが出てくる．
>最終的に出た式
>∂^2/∂r^2+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ)
>求めたい式は
>∂^2/∂r^2+2*∂/(r∂r)+∂^2/(r^2∂θ^2)+∂/(r^2*tanθ∂θ)+∂^2/(r^2*sin^2θ∂φ)
>です。
>自分で導いた式と比べると、2*∂/(r∂r)+∂/(r^2*tanθ∂θ)が欠けています。
お礼
なるほど。まさかヤコビアンであるとは思いませんでした。 ヤコビアンは何変数でも大丈夫なのですね。計算自体は簡単ですぐに求めることが出来ました。 お早い解答ありがとうございました。