微分の問題です。参考書が違うような気がします。

質問

よろしくお願いします。
ある参考書で、

　　ｙ＝sin＾２（３ｘ）、を微分すると、ｙ’＝６sin３ｘ・cos３ｘと書いてあります。

しかし、学校で習ったときには、まずsin^２（３ｘ）を微分して、３ｘを微分したものをかけて、さらに
sin３ｘを微分したものを掛ける、と教わりました。なので、　ｙ’＝３・２sinx（sin3x）’だから、答は
ｙ’＝１８sin3x・cos3x、だと思うのですが、どこか違っていますか？くわしい方、よろしくお願いします。

回答No.7

banakona · ベストアンサー

＃２です。

質問者さんの間違いの原因がようやく分かった気がする。

sin＾２（３ｘ）を微分するときに３ｘの３が前へ出て、ｓｉｎ（３ｘ）を微分するする際にもう一度３が出ると思っていませんか？

微分する際に「ナニで微分するのか」が蔑ろにされている気がする。
合成微分は「ナニ」を同心円状に狭めていくイメージ。
本問の場合は、sin(3x)を一塊だと思ってｙをまずsin(3x)で微分し、次にsin(3x)を(3x)で微分し、最後に(3x)をxで微分する。この際に、式の中にある全ての３ｘをｘで微分するのではなく、まだ微分していないところだけ微分する。

合成微分は普通、別の変数で置き換えて行なうけど、一切おきかえずにやってみたので参考にしてみては。

お礼

お返事ありがとうございます！
皆様のおかげでようやくわかりました。
たくさんの方に教えてもらえてうれしいです。
お礼はコピペになってしまいましたが、感謝しています。
ベストアンサーは、迷いましたが、２回も教えてくださった方に
したいと思います。皆様、ありがとうございました！

回答No.10

FT56F001

>すみません。。。　sin3xは微分したら、3cos３ｘになりますか？？
>だとしたら　sin＾２（３ｘ）は微分したら、２sin（３ｘ）・（３ｘ）’・（sin3ｘ）’
>はやっぱり１８sin（３ｘ）cos（３ｘ）になりませんか？

sin(3x)をxで微分したら，3cos(3x)で正しいです。
sin(3x)を(3x)で微分したらcos(3x)です。
「何で微分するか」に注意してくださいね。

#5さんの
>（sin3ｘ）’＝cos３ｘ
は，(3x)で微分する意味に「'」を使っていますが，普通はしない書き方です。
「'」はxで微分する意味に使うので，sin(3x)'=3cos(3x)です。

「何で微分する」をはっきりさせるためには，dy/dxの形が分かりやすいです。
#7さんの繰り返しになりますが，

d{[sin(3x)]^2}/dx
=d{[sin(3x)]^2}/d[sin(3x)]・d[sin(3x)]/d(3x)・d(3x)/dx=
=2sin(3x)・cos(3x)・3

なぜかというと，
d{[sin(3x)]^2}/d[sin(3x)]=2sin(3x)　　　du^2/du=2uの形
d[sin(3x)]/d(3x)=cos(3x)　　　　　　　　sin(v)'=cos(v)の形
d(3x)/dx=3

お礼

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回答No.9

ferien

No.3，No.5です。質問者さんへ改めて説明します。

>すみません。。。　sin3xは微分したら、3cos３ｘになりますか？？

ｙ＝sin＾２（３ｘ）のを微分は、正式には３つの部分に置き換えて行います。

ｙ＝ｕ^2
ｕ＝sinｖ
ｖ＝３ｘ

微分するときは、外側の式から内側の式へと微分していきます。

ｙ＝ｕ^2　をｕで微分して　　dy/du＝２ｕ＝２sinｖ＝２sin３ｘ
ｕ＝sinｖ　をｖで微分して　du/dv＝cosｖ=cos３ｘ
ｖ＝３ｘ　をｘで微分して　　dv/dx＝３

で微分した結果を掛け合わせると、

ｙ’＝２sin３ｘ・cos３ｘ・３
　　＝６sin（３ｘ）cos（３ｘ）　となります。

もう既に下記の多くの方々から説明済みですが、
sin3xは微分したら、3cos３ｘにならない　のはこのような理由からです。

正確な方法を意識していたらミスも減らせるのでは、と思います。

お礼

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回答No.6

info22_

#1です。

微分の計算はA#1に書いた順序で行わないといけません。

質問者さんやり方は、微分の部分的な知識をただ機械的に並べて掛け合わせただけで、そこに間違う落とし穴に陥ってしまっています。
今正しく覚えておかないとこれからの試験で大失敗をするでしょう？

>２sin（３ｘ）・（３ｘ）’・（sin3ｘ）’
この断片的なそれぞれの微分を、順序を考えないで、機械的に掛け合わせれば良いと、間違った覚え方を覚えてしまった所にあります。

微分の順序はA#1に書いた「合成関数の微分法の」順序に従ってやらないといけません。

まず最初に「sin^2(3x)」の中の「sin(3x)の塊」で行います。
　すると　2*sin(3x)…(1) が出てきます。

次にすべき微分は　
　≪「3x」をxで微分をする≫　のは間違いで
　≪(1)の中の「sin(2x)」について「2xの塊」≫で行わないといけません。
　すると　cos(3x) …(2)　となります。

この次にすべき微分が≪(2)の中の「3x」について「x」≫で行います。
　すると　3 …(3)　となります。

合成関数の微分法に従って、
「sin^2(3x)」の微分は(1)、(2)、(3)をこの順序に掛け合わせたものになる。つまり
　2*sin(3x)*cos(3x)*3 = 6sin(3x)cos(3x)
となる。

このように合成関数の微分の順序を正しく覚え直さないと、これからもなんども失敗するでしょう。
この際、正しい微分の意味と順序を理解して、正しい微分が出来るようにしておきましょう。

お礼

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回答No.5

ferien

>すみません。。。　sin3xは微分したら、3cos３ｘになりますか？？

なりません。。

sinｘを微分するのと同じ考えで、cosｘとします。ｘのところが３ｘになっただけと考えればいいと思います。

>だとしたら　sin＾２（３ｘ）は微分したら、２sin（３ｘ）・（３ｘ）’・（sin3ｘ）’

（３ｘ）’＝３　←３が出てくるのはこのときだけ
（sin3ｘ）’＝cos３ｘ

ｙ’＝２sin（３ｘ）・（３ｘ）’・（sin3ｘ）’
　　＝２sin（３ｘ）・３・cos３ｘ
　　＝６sin（３ｘ）cos（３ｘ）

となりますが、どうでしょうか？

お礼

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回答No.4

ONEONE

合成関数の微分は
dy/dx =dy/du × du/dx
でした。
イメージとしては外の微分×中の微分

今、sin^2(3x)の微分だけど、
y = u^2
u = sin3x
とおく。また、さらにt=3xとおいて
dy/du = 2u 外の微分
du/dx = du/dt×dt/dx = 3cost 中の微分

全部掛け合わせたら6ucost=6sin3xcos3x

お礼

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回答No.3

ferien

ある参考書で、

　　ｙ＝sin＾２（３ｘ）、を微分すると、ｙ’＝６sin３ｘ・cos３ｘと書いてあります。

しかし、学校で習ったときには、まずsin^２（３ｘ）を微分して、３ｘを微分したものをかけて、さらに
sin３ｘを微分したものを掛ける、と教わりました。なので、　ｙ’＝３・２sinx（sin3x）’だから、>答は
>ｙ’＝１８sin3x・cos3x、だと思うのですが、どこか違っていますか？

まずsin^２（３ｘ）を微分して　２sin(3x)
３ｘを微分したものをかけて　　３・２sin(3x)
sin３ｘを微分したものを掛ける　３・２sin(3x)・cos(3x)

ｙ’＝６sin(3x)・cos(3x)

ちゃんと理解されていると思いますが？ ３×２なのに何で１８が出てくるんでしょう？

補足

すみません。。。　sin3xは微分したら、3cos３ｘになりますか？？
だとしたら　sin＾２（３ｘ）は微分したら、２sin（３ｘ）・（３ｘ）’・（sin3ｘ）’
はやっぱり１８sin（３ｘ）cos（３ｘ）になりませんか？

回答No.2

banakona

＞．．．ｙ’＝３・２sinx（sin3x）’だから、答えは

の頭に３があるのが間違い。この３はどこから来たの？

お礼

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お礼はコピペになってしまいましたが、感謝しています。
ベストアンサーは、迷いましたが、２回も教えてくださった方に
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回答No.1

info22_

参考書の「ｙ’＝６sin３ｘ・cos３ｘ」が正しい。

>ｙ’＝１８sin3x・cos3x、だと思うのです
間違いです。
合成関数の積分を正しく行わないことが間違いの原因です。

y={sin(3x)}^2
y'=2{sin(3x)}^1*{sin(3x)}'
=2sin(3x)*{cos(3x)}*(3x)'
=2sin(3x)cos(3x)*3
=6sin(3x)cos(3x)
さらに変形すれば
　=3sin(6x)
となる。

お礼

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