微分

質問

次の関数を微分しなさい。
1.y=2x√(x^2+1)
2.y=x/√(1-x^2)
3.y=√(1-x)/√(1+x)
4.y=x^2　sin(x+1)
5.y=sinx　cos^2(x)
6.y=sin√(x^2-x+1)
7.y=sin^4(x)　cos4x
8.y=√(1+cos^2(x))
9.y=cosx/(1-sinx)
10.y=(tanx+(1/tanx))

簡単な説明でも結構です。(○○の公式を使って・・みたいな)
非難や愚痴だけはごめんです。

回答No.4

novaakira · ベストアンサー

6.y=sin√(x^2-x+1)
これは三角関数の微分さえしっかり理解していれば簡単です。
A=√(x^22-x+1)
A'=1/2(2x-1)/√(x^2-x+1)
とおいて
y=sinAを微分すればＯＫです。
y'=A'cosA
=(2x-1)/{2√(x^2-x+1)}cos{√(x^2-x+1)}

とりあえず、６番までは回答を書きました。
あとは、教科書や参考書の例題を見ながらshu84さんが解いてみてください。

お礼

ありがとうございます
一応教科書もチャートなんかも見ているんですけど
このあたりはなんせ参考ページが非常に少ないもので・・・

回答No.3

novaakira

教科書や参考書に
{f(x)g(x)}′＝f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
という式があるはずです。これを利用します。
1.y=2x√(x^2+1)
f(x)=2x、g(x)=√(x^2+1)とおいて計算すると、
f'(x)=2、g'(x)=1/2×2x×1/√(x^2+1)
となるので
y'=2×√(x^2+1)+2x×1/2×2x×1/√(x^2+1)
=2√(x^2+1)+2x/√(x^2+1)
となります。

2.y=x/√(1-x^2)
この問題は、
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g^2(x)
という式を利用して解きます。
f(x)=x、g(x)=√(1-x^2)
とおいて、
f'(x)=1,g'(x)=1/2×-2x×√(1-x^2)=-x/√(1-x^2)
となるので、
y'={√(1-x^2)+x/√(1-x^2)}/(1-x^2)
となります。

３番も２番と同じように解いてみてください。
(ちょっとややこしいですが・・・)
4.y=x^2　sin(x+1)
これは１番と同じ式を使います。
f(x)=x^2,g(x)=sin(x+1)
f'(x)=2x,g'(x)=cos(x+1)
よって、
y'=2xsin(x+1)+x^2cos(x+1)

三角関数の微分は理解してますか？
４番のg'(x)ですが、わかりやすく書くと、
g'(x)={sin(x+1)}'
=(x+1)'cos(x+1)=1cos(x+1)=cos(x+1)
となります。

5.y=sinx　cos^2(x)
f(x)=sinx,g(x)=cos^2(x)
f'(x)=cosx,g'(x)=2cosx(-sinx)
よって、
y'=sinx2cosx(-sinx)+cos^2(x)cosx
=-2sin^2(x)cosx+cos^3(x)

回答No.2

kony0

積の微分　[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
合成関数の微分　[f(g(x))]' = f'(g(x)) g'(x)

この２つを組み合わせると、商の微分　[f(x)/g(x)]' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 は導けます。

h(x) = 1/x とおくと、{1/g(x)}' = [h(g(x))]' 。
またh'(x) = [x^(-1)]' = (-1) x^(-2) = -1/(x^2)
[f(x)/g(x)]' = [ f(x) h(g(x)) ]' = f'(x) h(g(x)) + f(x) [h(g(x))]'
= f'(x) h(g(x)) + f(x) h'(g(x)) g'(x)
= f'(x)/g(x) + f(x)*(-1/(g(x))^2) g'(x)
= {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
（教科書に導き方書いてあると思うので、それをきっちり理解、マスターしてください。）
私は商の微分については、公式を覚える必要はない、そのかわり積と合成から導けることは必要、と考えています。
ちょうど加法定理を覚えていれば、倍角の公式なんていつでも作れる、というのと一緒の感覚ですね。

ついでに、[√f(x)]' については、g(x) = √x とすれば、
[√f(x)]' = [g(f(x))]' = g'(f(x)) f'(x)
ここで、g'(x) = [x^(1/2)]' = (1/2) x^(-1/2) = 1/2√xだから
[√f(x)]' = f'(x)/2√f(x)
こんな公式を覚えてるようじゃいけません。導出するもの。

三角関数の微分　(sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx
これと商の微分を使用　tanx = 1/(cos^2 (x))

tanx = (sinx/cosx)' = {(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}/(cosx)^2
={cosxcosx + sinxsinx}/(cosx)^2 = 1/(cos^2(x))

じゃ、１つだけ。

2.y=x/√(1-x^2)

y=x * (1-x^2)^(-1/2)だから
y'=(1-x^2)^(-1/2) + x * {(-1/2)(1-x^2)^(-3/2) * (-2x)}
あとは式を整理して。

こんな感じで、だいたいいけます。少なくともこれらの問題はすべて。
積関数の微分、合成関数の微分を駆使してがんばってみてください。(^^)

アドバイスは以上（実は直前の１行だけ）ですが、こんなアドバイスでできるようになるくらいなら、きっとはじめからできているであろうから・・・自信なしで。
ちなみに、解説のしっかりした参考書を持っていますか？高校の参考書は、１ページの「上８割が例題と解説、下２割が類題」という「チャート式」系の参考書がレベル別にいっぱいあるはずですから、こういうものを使って、ただ答えを見るのではなく、「考え方」や「式変形」を学んでいくようにすればいいんじゃないでしょうか？

回答No.1

acacia7

d/dx(F(x)*G(x))=dF/dx*G(x) + F(x)*dG/dx

d/dx(G(F(x))=dG/dF * dF/dx

あと、三角関数の微分だけあれば解けるべ？・・

しかし、「次の関数を微分しなさい。」つーのもあれだぁね。