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微分

次の関数を微分しなさい。 1.y=2x√(x^2+1) 2.y=x/√(1-x^2) 3.y=√(1-x)/√(1+x) 4.y=x^2 sin(x+1) 5.y=sinx cos^2(x) 6.y=sin√(x^2-x+1) 7.y=sin^4(x) cos4x 8.y=√(1+cos^2(x)) 9.y=cosx/(1-sinx) 10.y=(tanx+(1/tanx)) 簡単な説明でも結構です。(○○の公式を使って・・みたいな) 非難や愚痴だけはごめんです。

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  • 回答No.4

6.y=sin√(x^2-x+1) これは三角関数の微分さえしっかり理解していれば簡単です。 A=√(x^22-x+1) A'=1/2(2x-1)/√(x^2-x+1) とおいて y=sinAを微分すればOKです。 y'=A'cosA =(2x-1)/{2√(x^2-x+1)}cos{√(x^2-x+1)} とりあえず、6番までは回答を書きました。 あとは、教科書や参考書の例題を見ながらshu84さんが解いてみてください。

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質問者からのお礼

ありがとうございます 一応教科書もチャートなんかも見ているんですけど このあたりはなんせ参考ページが非常に少ないもので・・・

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

教科書や参考書に {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) という式があるはずです。これを利用します。 1.y=2x√(x^2+1) f(x)=2x、g(x)=√(x^2+1)とおいて計算すると、 f'(x)=2、g'(x)=1/2×2x×1/√(x^2+1) となるので y'=2×√(x^2+1)+2x×1/2×2x×1/√(x^2+1) =2√(x^2+1)+2x/√(x^2+1) となります。 2.y=x/√(1-x^2) この問題は、 {f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g^2(x) という式を利用して解きます。 f(x)=x、g(x)=√(1-x^2) とおいて、 f'(x)=1,g'(x)=1/2×-2x×√(1-x^2)=-x/√(1-x^2) となるので、 y'={√(1-x^2)+x/√(1-x^2)}/(1-x^2) となります。 3番も2番と同じように解いてみてください。 (ちょっとややこしいですが・・・) 4.y=x^2 sin(x+1) これは1番と同じ式を使います。 f(x)=x^2,g(x)=sin(x+1) f'(x)=2x,g'(x)=cos(x+1) よって、 y'=2xsin(x+1)+x^2cos(x+1) 三角関数の微分は理解してますか? 4番のg'(x)ですが、わかりやすく書くと、 g'(x)={sin(x+1)}' =(x+1)'cos(x+1)=1cos(x+1)=cos(x+1) となります。 5.y=sinx cos^2(x) f(x)=sinx,g(x)=cos^2(x) f'(x)=cosx,g'(x)=2cosx(-sinx) よって、 y'=sinx2cosx(-sinx)+cos^2(x)cosx =-2sin^2(x)cosx+cos^3(x)

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  • 回答No.2
  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)

積の微分 [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 合成関数の微分 [f(g(x))]' = f'(g(x)) g'(x) この2つを組み合わせると、商の微分 [f(x)/g(x)]' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 は導けます。 h(x) = 1/x とおくと、{1/g(x)}' = [h(g(x))]' 。 またh'(x) = [x^(-1)]' = (-1) x^(-2) = -1/(x^2) [f(x)/g(x)]' = [ f(x) h(g(x)) ]' = f'(x) h(g(x)) + f(x) [h(g(x))]' = f'(x) h(g(x)) + f(x) h'(g(x)) g'(x) = f'(x)/g(x) + f(x)*(-1/(g(x))^2) g'(x) = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 (教科書に導き方書いてあると思うので、それをきっちり理解、マスターしてください。) 私は商の微分については、公式を覚える必要はない、そのかわり積と合成から導けることは必要、と考えています。 ちょうど加法定理を覚えていれば、倍角の公式なんていつでも作れる、というのと一緒の感覚ですね。 ついでに、[√f(x)]' については、g(x) = √x とすれば、 [√f(x)]' = [g(f(x))]' = g'(f(x)) f'(x) ここで、g'(x) = [x^(1/2)]' = (1/2) x^(-1/2) = 1/2√xだから [√f(x)]' = f'(x)/2√f(x) こんな公式を覚えてるようじゃいけません。導出するもの。 三角関数の微分 (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx これと商の微分を使用 tanx = 1/(cos^2 (x)) tanx = (sinx/cosx)' = {(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}/(cosx)^2 ={cosxcosx + sinxsinx}/(cosx)^2 = 1/(cos^2(x)) じゃ、1つだけ。 2.y=x/√(1-x^2) y=x * (1-x^2)^(-1/2)だから y'=(1-x^2)^(-1/2) + x * {(-1/2)(1-x^2)^(-3/2) * (-2x)} あとは式を整理して。 こんな感じで、だいたいいけます。少なくともこれらの問題はすべて。 積関数の微分、合成関数の微分を駆使してがんばってみてください。(^^) アドバイスは以上(実は直前の1行だけ)ですが、こんなアドバイスでできるようになるくらいなら、きっとはじめからできているであろうから・・・自信なしで。 ちなみに、解説のしっかりした参考書を持っていますか?高校の参考書は、1ページの「上8割が例題と解説、下2割が類題」という「チャート式」系の参考書がレベル別にいっぱいあるはずですから、こういうものを使って、ただ答えを見るのではなく、「考え方」や「式変形」を学んでいくようにすればいいんじゃないでしょうか?

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  • 回答No.1
  • acacia7
  • ベストアンサー率26% (381/1447)

d/dx(F(x)*G(x))=dF/dx*G(x) + F(x)*dG/dx d/dx(G(F(x))=dG/dF * dF/dx あと、三角関数の微分だけあれば解けるべ?・・ しかし、「次の関数を微分しなさい。」つーのもあれだぁね。

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