三角関数の微分(sinX)'=cosXの証明について

質問

こんにちは。
(sinX)'=cosXの証明について、
(1)　　　　　sinX(cosΔX－1)＋cosXsinΔX
　　　＝lim----------------------------　　
　　　　ΔX→0　　　　ΔX

　　　　　　　　 　cosΔX－1　　　　 　　　sinΔX
(2)　　＝sinX × lim-----------　＋　cosX × lim----------　
　　　　 　　　 ΔX→0　 ΔX　　　　　 ΔX→0　 ΔX　
このように証明が進む部分が
ありますが、
この部分の意味が良く分かりません。
微分の和を２つに分けて（ここは分かります）、
sinX、cosXをlimの外にだして
しまっているようですが、定数なら、
前に出せても、sinXを前に出してしまうのは、
可能なのでしょうか。

数学を勉強したのは、かなり前ですが、
最近趣味で、微分の本を読んでいたら、
sinの微分の部分で、躓いてしまいました。
こういう公式がある、定理がある、
というアドバイスだけでも結構です。
何か分かる人がいましたら、
よろしくお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

この場合、lim[Δx→0]で考えていますから、値を変化させて考えるのは(変数として考えるのは)Δxのみです。
逆にΔxを変化させても、sin(x)やcos(x)は変化しないので定数と同じように扱って問題ありません。

普通、教科書などで一番最初に微分が出てくるのは、x=aにおける微分係数を求めるという問題で、
　　f'(a) = lim[h→0]{(f(a+h)-f(a))/h}
という式になるはずです。
この書き方ならf(a)が定数であることはわかりやすいですよね。

で、この次の段階として、x=aにおける微分係数f'(a)だけでなく、a自体も変数として考えることで導関数という言葉が登場します。
文字にaを使うと定数というイメージが強いので、変数であることを強調するためにaをxで書き換えて、
　　f'(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h}
を導関数の定義とします。
またこの場合のhは、xを基点として微少距離(微少幅)という意味なので、hの代わりにΔxを使う書き方もできます。
(Δを付けることでxの微少な変化という意味を持つ、が、xと直接の関係はなくxとは独立に変化させて考える)
hの代わりにΔxを使う書き方を採用すれば、導関数の定義式は
　　f'(x) = lim[Δx→0]{(f(x+Δx)-f(x))/Δx}
と書けます。

以上の流れを振り返ってみれば、Δxとxは基本的には別物、sin(x)等はΔxとは関係のない物だから定数扱いしていい、と言うことがわかるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

＞sinX、cosXをlimの外にだして
しまっているようですが、定数なら、
前に出せても、sinXを前に出してしまうのは、
可能なのでしょうか。

可能です

なぜならΔXを変えてもsinXは変わらないので

といった感じでご理解いただけるでしょうか