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三角関数の微分(sinX)'=cosXの証明について
こんにちは。 (sinX)'=cosXの証明について、 (1) sinX(cosΔX-1)+cosXsinΔX =lim---------------------------- ΔX→0 ΔX cosΔX-1 sinΔX (2) =sinX × lim----------- + cosX × lim---------- ΔX→0 ΔX ΔX→0 ΔX このように証明が進む部分が ありますが、 この部分の意味が良く分かりません。 微分の和を2つに分けて(ここは分かります)、 sinX、cosXをlimの外にだして しまっているようですが、定数なら、 前に出せても、sinXを前に出してしまうのは、 可能なのでしょうか。 数学を勉強したのは、かなり前ですが、 最近趣味で、微分の本を読んでいたら、 sinの微分の部分で、躓いてしまいました。 こういう公式がある、定理がある、 というアドバイスだけでも結構です。 何か分かる人がいましたら、 よろしくお願いします。
- rheda
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この場合、lim[Δx→0]で考えていますから、値を変化させて考えるのは(変数として考えるのは)Δxのみです。 逆にΔxを変化させても、sin(x)やcos(x)は変化しないので定数と同じように扱って問題ありません。 普通、教科書などで一番最初に微分が出てくるのは、x=aにおける微分係数を求めるという問題で、 f'(a) = lim[h→0]{(f(a+h)-f(a))/h} という式になるはずです。 この書き方ならf(a)が定数であることはわかりやすいですよね。 で、この次の段階として、x=aにおける微分係数f'(a)だけでなく、a自体も変数として考えることで導関数という言葉が登場します。 文字にaを使うと定数というイメージが強いので、変数であることを強調するためにaをxで書き換えて、 f'(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h} を導関数の定義とします。 またこの場合のhは、xを基点として微少距離(微少幅)という意味なので、hの代わりにΔxを使う書き方もできます。 (Δを付けることでxの微少な変化という意味を持つ、が、xと直接の関係はなくxとは独立に変化させて考える) hの代わりにΔxを使う書き方を採用すれば、導関数の定義式は f'(x) = lim[Δx→0]{(f(x+Δx)-f(x))/Δx} と書けます。 以上の流れを振り返ってみれば、Δxとxは基本的には別物、sin(x)等はΔxとは関係のない物だから定数扱いしていい、と言うことがわかるかと思います。
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- owata-www
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>sinX、cosXをlimの外にだして しまっているようですが、定数なら、 前に出せても、sinXを前に出してしまうのは、 可能なのでしょうか。 可能です なぜならΔXを変えてもsinXは変わらないので といった感じでご理解いただけるでしょうか
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