lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

質問

高校の教科書では、
0<ｘ<π/2のとき，面積を考えて、
(sinｘ)/2<ｘ/2<(tanｘ)/2
2をかけて、辺々の逆数を取ると，
cotｘ<1/ｘ<cosecｘ
辺々にsinｘをかけると，
cosｘ<sinｘ/ｘ<1
lim[ｘ→0]cosｘ=1
挟み撃ちの原理より，lim[ｘ→0]sinｘ/ｘ=1
と書かれています。
これを出発点として、(sinx)'=cosxが分かり、三角関数の微積分が構築されます。

しかし、面積は厳密には、積分で定義され、微積分学の基本定理から、微分の逆演算として計算されます。
すると、面積を用いて、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは循環論法。

lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明を、sinxの定義とともに教えてください。

回答No.15

koko_u_ · ベストアンサー

fjfsgh さんが「曖昧だ」と感じている箇所がどうしても把握できません。

>僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、
>それに費やす膨大な時間は無価値だろう。
>それをもとに、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
２つ言いたいことがあって、

一つは無価値ではないということ。今回話題に登っている「角度」や「円弧」の実体が何かを考えることは数学的に非常に有意義なことです。
大きく遠回りして結論に辿り着いたとするならば、ショートカットで結論に辿り着いた時よりも遼かに多くのことを学び、そして得られた結論が fjfsgh さんの中でリアリティを持つでしょう。

もう一つは、ここで私がちょろちょろっと書いたことなど、微々たる量だし、更に厳密性を追及したとしてもさほど複雑ではありません。
数学の世界は私が表面上把握している以上に混沌として複雑怪奇な世界です。

>ANo.13で、
>周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。
>と書かれていますが、たとえば、円はフラクタルみたいにどこまでも
>細かいギザギザがあるとイメージすると、内接多角形の周長の上限が
>無限大になるかもしれないし。
無限大にならないことを証明したつもりでしたが。
何度も言うように、どこが「曖昧だ」と思うのか書かれていないのでフォローのしようがありません。

補足

曖昧なところは、たとえば次のところです。

＞周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。即ち、
＞扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
＞周AP の長さ L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n)
＞ は AP を n 分(等分でなくて良い)した、
＞折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

＞上界 L(P) が存在するので、L(P) に収束する折れ線の列
＞ K_i = (A=P_{i 0}, P_{i 1},...,P_{i n_i}=P)
＞(i = 1,2,... )が存在する。

まず、円とはなんでしょう？
１点から等距離な点の集まりのことですか?
そうだとして、２点間の距離とはなんでしょう？

点に座標があったとして、点(x[1],y[1])と点(x[2],y[2])の距離dは、
d=√{(x[1]-x[2])^2+(y[1]-y[2])^2}
のことですか？
d=|x[1]-x[2]|+|y[1]-y[2]|
のことですか？

おそらく前者だと思います。それは座標や式を使って書きましたが、それなら単位円をx^2+y^2=1として、円上の点(1,0)と点(x,y)の弧の長さを微分積分を使って書き表し、その逆関数としてsinが定義されます。それが普通の解析学です。

しかし、今は、幾何学的にsinを定義しようとしている。
２点間の距離がd=|x[1]-x[2]|+|y[1]-y[2]|ではなく、
d=√{(x[1]-x[2])^2+(y[1]-y[2])^2}であると主張するなら、それを座標を使わないでどのように説明できますか?

扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
周AP の長さ
L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n)は AP を n 分(等分でなくて良い)した、折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

L(P_0,P_1,...,P_n)が有界なのはどうしてですか？
同じことですが、上限 L(P) が（有限の値として）存在するのは、どうしてですか？

回答No.14

koko_u_

すっかり忘れてましたが。

個人的な意見ですが、「公理」とする事柄は
・単純であること
・（数学的）直観に訴えるもの
である必要があると考えています。

その意味では、ピタゴラスの定理を公理とするべきではないと考えます。そもそも、ユークリッド幾何学でピタゴラスの定理を導くのは容易だったと思いますが。

>ここの、lim[x→0](sinｘ)/x=1も、定義とほぼ同じ扱いをするのが主流と思います。
同じく、これを「定義」と呼ぶのも承服しかねます。大体にして何を定義しているかも不明です。そんな「定義」を導入するくらいなら、sin x を級数展開で定義した方が余程マシだと思います。

多くの教科書で天下り的に級数展開や積分の逆関数として sin x を「定義」して、定義域を 0 から π/2 に限ると高校で習った sin θ と同じ。と議論を展開しているのは、ひとえにその方が論理の筋として易しいからだと感じています。

しかし、最初からそのような天才的閃きを得たわけではなくて、fjfsgh さんが「曖昧だ」と思われる円弧についての議論を積み重ねて、現在我々が目にする sin x の全貌を得たはずなのです。

>でも、あいまいをゆるせば、lim[x→0](sinｘ)/x=1を幾何学で証明（説明？）することもできると思います。
私は曖昧に説明したつもりはないので、どのような点に曖昧さが残っているのか指摘していただきたい。

今回長々と回答を書いているのは fjfsgh さんの指摘が実数体の連続性や円周の定義について、非常に的を射ていると思ったからです。

厳密さを追及することで、これまであやふやだった点が明確化する過程が数学の最も面白い点の一つだと感じます。

補足

こんにちは。
たとえば、基礎論。これは数学の根本を追求する学問ですが、根本は単純であってもいいはずなのに、学問としてはたいへん難しい。

学問の方向性として、基礎からすべてを積み上げるのではなく、おおまかなものを前提として、その応用を探るのとその根本を探るのと、二方向のバランスが必要だと感じます。

＞多くの教科書で天下り的に級数展開や積分の逆関数として sin x を「定義」して、定義域を 0 から π/2 に限ると高校で習った sin θ と同じ。と議論を展開しているのは、ひとえにその方が論理の筋として易しいからだと感じています。

歴史の順番として、あいまいながらもsin xがその性質が考えられ、
それを厳密にする必要性から、また論理の筋を分かりやすくすることから、sin xはほぼ天下りに級数展開や積分の逆関数として定義されますね。

でも、koko_u_さんがいうように、sin xを円における弦や弧の関係として定義したいというもの分かります。

僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、それに費やす膨大な時間は無価値だろう。それをもとに、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
もし、sin xを円における弦や弧の関係として定義して、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明することが出来たとして、それをここに書くという行為ををすると、どうしてもあいまいになるだろう、と思います。

たとえば、円という概念もあいまいだし、
円の内部・外部というのもあいまいだし、円の内部は凸集合（任意の２点の間の点も円の内部に含まれる）というのもあいまいだし、どの円においても（円周/直径）が一定というのもあいまいだし。
ANo.13で、

周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。

と書かれていますが、たとえば、円はフラクタルみたいにどこまでも細かいギザギザがあるとイメージすると、内接多角形の周長の上限が無限大になるかもしれないし。

やはり、ピタゴラスの定理の幾何学での証明や、sin xを幾何学で定義し、lim[x→0](sinｘ)/x=1を幾何学で証明するのは、あいまいな高校では価値があっても、厳密な大学では価値がないように感じます。
価値がないとは、膨大にがんばればできるかもしれないけど、誰もやっていないだろうし、やることは無駄だろう、という意味です。

回答No.13

koko_u_

>まず、大前提として、直交座標はあるのでしょうか？ないのでしょうか？
>直交座標があれば、それはもう解析を使った説明を了承済みです。
この論理のジャンプがわからない。
デカルト座標は単純に平面上の点を 2つの実数の組(x, y)で表現しているだけでしょう。
弧長が存在してそれを角度の単位として利用するということと、
sin x / x -> 1 ( x -> 0 )が同じことの別表現になっているというのが私の主張です。

>しかし、それは、内接多角形の最大辺を0に近づけたときの
>極限と同じ値になることはまだ示されていません。
>直交座標を使うのなら証明できますが、
>直交座標を使わないのなら証明できないと思います。
やってみよう。

周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。即ち、
扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
周AP の長さ L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n) は AP を n 分(等分でなくて良い)した、
折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

上界 L(P) が存在するので、L(P) に収束する折れ線の列 K_i = (A=P_{i 0}, P_{i 1},...,P_{i n_i}=P)
(i = 1,2,... )が存在する。

一方で、一辺の長さが 0 に近付く折れ線の列 Q_i = (A=Q_{i0}, Q_{i1}, ... ,Q_{i n_i}=P) を考えよう。
lim_{i->∞}(Q_i の折れ線の長さ) が収束して、その値が L(P) になればよい。

おおよそ次のような議論になると思う。

任意の正数 ε を取る。また上で考えた K_i をひとつ取る。
これらに対して十分大きく j_0 を取れば、折れ線の列 Q_j (j≧j_0) の各辺は ε/(K_iの頂点数) 未満となる。
( Q_j の辺の長さの最大値が 0 に収束するため )

K_i の折れ線の長さと Q_j の折れ線の長さを比較すると、K_i の各頂点で Q_j の折れ線をはみ出すが、
これはε/(K_iの頂点数) で評価できる。結果として、(K_i の折れ線の長さ) - ε ≦ (Q_j の折れ線の長さ) ( j ≧ j_0 )
となるような j_0 を見出すことができる。

L(P) の定義から (Q_j の折れ線の長さ) ≦ L(P) は明らか

(K_i の頂点の長さ) は L(P) に収束するので、ε > 0 に対して | L(P) - (K_i の頂点の長さ) | < ε
となるように i が取れるので、結局十分大きな j_0 を取れば | L(P) - (Q_j の頂点の長さ) | < 2ε ( j ≧ j_0 )

すなわち lim_{i->∞}(Q_i の折れ線の長さ) = L(P)

補足

遅くなりすみません。考えをまとめました。

現代の主流では、ピタゴラスの定理というのは公理にされていると思います。（ピタゴラスの定理が成立しない空間があります。）
別の公理、たとえばユークリッドの公理を元に、ピタゴラスの定理を厳密に証明することも可能かもしれませんが、主流ではないと思います。

ここの、lim[x→0](sinｘ)/x=1も、定義とほぼ同じ扱いをするのが主流と思います。
でも、あいまいをゆるせば、lim[x→0](sinｘ)/x=1を幾何学で証明（説明？）することもできると思います。

それがkoko_u_さんがかかれたことと思います。
自分なりに書き直します。

出発はユークリッド幾何の公理です。
ユークリッドが実際に書いた原論は多少不備があるようです。
でも、それは厳密に公理化できるものと思います。
（あるいは僕がここで書こうとしていることは、直感数学または高校数学とでもいうべき異端の扱いかもしれません。）
たとえば、点や直線とは無定義語です。
たとえば、任意の２点があれば、その距離が定まるものとします。
円とは、平面上の１点（Oとする）からの距離が一定の点の集まりです。ここには書けないですが、図形的なイメージはあるものとします。
以下、ところどころ略記します。

円上の異なる２点A、Bをとる。
A、Bの距離を弦ABということにする。
弧AB（の長さ）というのを次のように定義する。

円上のAとBの間にいくつかの点をとり、折れ線を考える。
その折れ線の長さの上限を弧ABとする。

以下、それがwell-difindであることを示す。
折れ線の長さをx軸とy軸という原点Oで直交する２直線に射影すると、射影した長さの和を超えないので、上に有界で上限が存在する。

折れ線の長さが上限に近づくような折れ線の列K_i(i=1,2,,,)を考える。
次に、折れ線の最大辺の長さが0に近づく折れ線の列Q_i(i=1,2,,,)を考える。

任意のK_iに対し、十分大きなNをとってくれば、
K_iの長さ≦Q_Nの長さ≦Q_(N+1)の長さ≦…
となる。なぜなら、図形的考察から、折れ線がより細かくなるということは、長さが増えるということなので。

したがって、K_i(i=1,2,,,)は上限に近づくので、Q_i(i=1,2,,,)も近づく。

よって、折れ線の最大辺の長さが0に近づく折れ線の列Q_i(i=1,2,,,)の長さの極限が弧である。

したがって、円周全体の弧の長さを考えると、
円弧=lim[n→∞]内接n角形の長さ
といえる。

特に、半径1の円において、
lim[n→∞]内接n角形の長さ=2π
と書ことにする。

これを変形すると、
lim[n→∞]n*内接n角形の１辺の長さ=2π

内接n角形の１辺の長さを、弦ABと書くと、

lim[n→∞]n*弦AB=2π

lim[n→∞]弦AB/(2π/n)=1

lim[A→B]弦AB/弧AB=1

これは、lim[x→0](sinｘ)/x=1と同じ意味である。

。。。。。やはり、あいまいすぎる説明しか出来ません。

回答No.12

hugen

解析概論（高木貞治）をお持ちのようですので詳細は略して
[円弧の長さ]＝supL(Δ)＝lim[|Δ|→0]L(Δ)
＝∫√{(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2}dt

今、単位円　x^2＋y^2＝1 （第一象限）を
x＝√(1-y^2)　と変形する。
y＝t　に対し　x＝√(1-t^2)
つまり、
x＝√(1-t^2)、y＝t　( 0≦t≦b )
これを円弧の媒介変数表示にとると
弧EPの長さ β＝∫[0,b]√{(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2}dt
＝∫[0,b]dt/√(1-t^2)

bをyと書き変えて　yの関数
　θ＝∫[0,y]dt/√(1-t^2) 　　　 を考えると
dθ/dy＝1/√(1-y^2)＞0
よって、
θはyについて単調増加かつ連続だから、
逆にθを与えると
θ＝∫[0,y]dt/√(1-t^2)
をみたす y がただひとつ決まるが、
これは逆関数を意味するから
dy/dθ＝√(1-y^2)
　ｙ＝sinθ　　　と定義して書き替えると
(sinθ) '＝√{1-(sinθ)^2}
右辺　√{1-(sinθ)^2}　＝cosθ　　　　　と定義すれば
(sinθ) '＝cosθ

また、
∫[0,b]dt/√(1-t^2)＝β　　　　より
sinβ＝b　　であり
cosβ　＝√{1-(sinβ)^2}＝√(1-b^2)＝a
つまり、βは弧EPの長さであり、
a,bは点Pのｘ座標、ｙ座標であったから
sinβ,cosβは、従来の三角関数と一致する。

さて、
sinθ＝f(θ)　と表わせば
lim[x→0](sinｘ)/x＝f '(0)＝cos0＝1　　ですが
(sinθ) '＝cosθ　
がすでに示されているので、
lim[x→0](sinｘ)/x=1
これは、使い道のないものとなります。

お礼

おっしゃるようなｙ＝sinθの定義からは、
lim[θ→0](sinθ)/θ=1
は自明というか、使い道のないものですね。

回答No.11

ringohatimitu

No.5です。
私の定義からでも全く問題なく円弧の長さを計算できますよ。ただ積分の変数変換など多少面倒なところもあったかもしれませんが結局単純です。arctanの定義から始まってsinやcosを積分で表せばそれによって円弧を求めるとき変数変換が使えるでしょう。そして最後にπの定義を使うだけです。どこから始めるかは好き好きですね。始めからsinを定義してもよいし級数で定義してもよいですしね。

ただおそらく気になっていると思われるのは純粋幾何的（これまたはっきり言って曖昧な表現ですが）に定義できるのかということだと思います。これは三角関数という実数値から実数値の対応付けを考えてるわけですがそれを考える限り不可能ではないでしょうか？というのは結局「実数」というもので何かしらの「座標」を定義して「点」と「点」（この場合「点」というのは２つの実数の組）の距離（長さ）を定義して円という集合を定義して、そこから出発していくことになりますが、これは完備という概念を含む解析的対象の実数を元に構築されています。実数の構築を解析的対象ではないと仰られるならばそれでこの議論は終わりですが微積分が実数を根底に構築されてる以上座標の導入時点で解析的な手法と言わざるを得ないですね。

お礼

たびたび、ありがとうございます。
純粋幾何的定義について、考えています。

現在は、解析（微積分）が主で、
「直交座標(x,y)」→「極座標(r,θ)」
r=√(x^2+y^2),θ=arctan(y/x)
とされ、arctanとは何かと聞かれれば、1/(1+x^2)の[0,t]上での積分とされます。

幾何（公理？）が主になったと仮定すると、
「極座標(r,θ)」→「直交座標(x,y)」
x=rcos(θ),ｙ＝ｒsin(θ)
とされ、cos,sinとは何かと聞かれれば、ピタゴラスの定理（三平方の定理）や加法定理や初期条件などを満たすものとしていいかもしれません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa323758.html
この場合、lim[θ→0](sinθ)/θ=1も公理になると思われます。

あと、よろしければ、
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=27115
にも来ていただけますとありがたいです。
時代は巡る、主従逆転といったことも信じている僕です。

回答No.10

koko_u_

>大学で習う解析学では、扇形の周長 θ 以前に、点Pの座標が必要です。
>でも、ここは譲歩して、単位円上に、0～2πの数字が等間隔で書かれているとしましょう。
>その代わり、ｘ軸とy軸の上に書かれていた数字は消えます。
>扇形の周長 θ に対する点Pの位置はわかったとして、
>そこからy軸に垂線をおろすと、その足の座標はどうなるのでしょう？
>やはり、その考えには無理があると思います。
なるほど、なるほど。

結局、点 P -> 周長θ の対応はできるとして、その逆写像が定義できるとは限らないという主張ですね。

これは
>大学で習う解析学では、まず、直交座標があり、単位円x^2+y^2=1があり、
>点(1,0)から点P(x,y)(ただし、x^2+y^2=1)までの弧長θを折れ線の上限（実は極限と同じになる）と定義します。
>yに対してθが対応しますが、その逆関数をy=sinθとします。
と何ら意図するところに違いはないように見えます

>円や周長や内接正 n 角形などといった幾何的なことを書くと、その意味はあいまいです。
>すべてを、式や写像の言葉を使って書くと、やはり、大学での解析学での方法しかないと思います。
幾何学的な表現が曖昧だと感じておられるようですが、それは誤解だと思います。

確かに数学的に厳密な記述をする場合、デカルト座標を用いるのが通例ですが、それは「表現方法」の問題であって、ここで本質的な部分は

「点 (0, 1) から長さθ分だけ単位円を反時計まわりに辿ると、点 P の位置が確定する」

ということだと思います。この事実は自明ではなくて、第一象限で単位円上の点(x, y) に対応する周長θを考えた場合の写像 y -> θが連続であり、かつ単調増加であることから得られます。

ここでも、写像 y -> θを具体的にデカルト座標を用いて書き下さなくとも、その定義から連続性や単調増加の性質を議論することが可能です。

お礼

なんんどもありがとうございます。
しかし、逆に分からなくなってきました。

扇形の周長という概念を、内接多角形の周の上限と定義して、その値に対して、円弧の高さを対応させる関数sinxを定義する

とのことで、とくにそれを式で表示しなくてもいい、とのことですが。

まず、大前提として、直交座標はあるのでしょうか？ないのでしょうか？
直交座標があれば、それはもう解析を使った説明を了承済みです。

>ここでも、写像 y -> θを具体的にデカルト座標を用いて書き下さなくとも

と書かれているように、ここでは、直交座標はないと考えていると思います。直交座標なくとも、円とか２点間距離という概念を、ユークリッド幾何的にみとめたとしましょう。
座標はなくても、直交しているx軸y軸というものも認めたとしましょう。

扇形の周長という概念を、内接多角形の周の上限と定義するからないは、well-defindをいわなければなりません。
上に有界ということはOKと思います。
内接n角形を分割して、内接n+1角形を作ると、周が大きくなるので、単調増加もいいと思います。
したがって、存在性が分かり、well-defindがいえると思います。

しかし、それは、内接多角形の最大辺を0に近づけたときの極限と同じ値になることはまだ示されていません。
直交座標を使うのなら証明できますが、直交座標を使わないのなら証明できないと思います。

いっそ、扇形の周長という概念を、内接多角形の最大辺を0に近づけたときの極限と定義しようとしても、そのwell-defind、つまり存在性が示せれないとおもいます。

回答No.9

mis_take

ANo2 です。
みなさん，どうしても，「θ＝弧APの長さ」にこだわるようですね。
「θ＝範囲OAPの面積の２倍」は受け入れられませんか？

双曲線関数
x=coshθ＝(e^θ+e^{-θ})/2，y=sinhθ＝(e^θ－e^{-θ})/2
も，「θ＝範囲OAPの面積の２倍」ですよ。
（P(x,y)は双曲線 x^2-y^2=1 上の点，Aは(1,0)，範囲OAPは線分OA,OP,双曲線の弧APと囲まれる部分）

お礼

ありがとうございます。
「面積」での定義はあまりメリットがないと思っていましたが、そうではないようです。反省します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
sin^2θ+cos^2θ=1の意味も明確のようです。

でもやはり、それは、解析概論（高木貞治）に言わせると、「面積」を１８世紀式の天賦のものと考えている方法です。
はたまたでも、時代は巡るものでして、その「面積」を出発するという考えが、主になる可能性もあります。

詳しく書くと、現在は、解析（微積分）が主で、
「直交座標(x,y)」→「極座標(r,θ)」
r=√(x^2+y^2),θ=arctan(y/x)
とされ、arctanとは何かと聞かれれば、1/(1+x^2)の[0,t]上での積分とされます。

幾何（公理？）が主になったと仮定すると、
「極座標(r,θ)」→「直交座標(x,y)」
x=rcos(θ),ｙ＝ｒsin(θ)
とされ、cos,sinとは何かと聞かれれば、ピタゴラスの定理（三平方の定理）や加法定理や初期条件などを満たすものとしていいかもしれません。
この場合、lim[θ→0](sinθ)/θ=1も公理になると思われます。

回答No.8

koko_u_

>角度＝扇形の周長、ですが、それを、内接多角形の周の上限と定義して、
>その値に対して、円弧の高さを対応させる関数sinxを定義したところで、
>なにも出来ないと思います。
うーん。どのような考察から上記の結論を得ているのかがわかりません。

扇形の周長 x に対して高さを考えることで関数 sin x が定義できることに異論はないのですよね。(我々は sin x について「よく知っている」わけですが、ここではそれらの知識は忘れて、単純に「対応」として x -> sin x が定義できたと考えて下さい)

単位円の内接正 n 角形を考えた時に、この定義と円周の長さを 2π と書くことだけから、正 n 角形の周長が {sin (2π/(2n))}*(2n) となるのがマズいとお考えですか？

いろんなアプローチがあり得るとは思いますが、個人的には π の定義はやはり「直径と周長の比」として定義したいし、sin x も x が第一象限にあるときには、単純に直角三角形の「高さ÷斜辺」として議論を始めたい。

まさかとは思いますが、lime_{n->∞} {sin(2π/(2n))}*(2n) = 2π から、lim_{x->0}(sin x / x) = 1 がわからないということではないですよね。

お礼

こんにちは。

>扇形の周長 x に対して高さを考えることで関数 sin x が定義できることに異論はないのですよね。(我々は sin x について「よく知っている」わけですが、ここではそれらの知識は忘れて、単純に「対応」として x -> sin x が定義できたと考えて下さい)

大学で習う解析学では、まず、直交座標があり、単位円x^2+y^2=1があり、点(1,0)から点P(x,y)(ただし、x^2+y^2=1)までの弧長θを折れ線の上限（実は極限と同じになる）と定義します。
yに対してθが対応しますが、その逆関数をy=sinθとします。

koko_u_さんは、
>扇形の周長 θ に対して高さを考えることで関数 sin θ が定義できる。
>単純に「対応」として θ -> sin θ が定義できた。

と書かれています。（少し文字を変えました）
大学で習う解析学では、扇形の周長 θ 以前に、点Pの座標が必要です。
でも、ここは譲歩して、単位円上に、0～2πの数字が等間隔で書かれているとしましょう。その代わり、ｘ軸とy軸の上に書かれていた数字は消えます。
扇形の周長 θ に対する点Pの位置はわかったとして、そこからy軸に垂線をおろすと、その足の座標はどうなるのでしょう？
やはり、その考えには無理があると思います。

円や周長や内接正 n 角形などといった幾何的なことを書くと、その意味はあいまいです。
すべてを、式や写像の言葉を使って書くと、やはり、大学での解析学での方法しかないと思います。

回答No.7

hugen

こんなもんでいかがでしょうか？

　単位円を考えて、
点E(1,0)、又　点P(a,b)は第一象限にとる。
弧PE上にPからEに向かって　分点P,Q[1],・・,Q[n-1] をとり
x軸に下した垂線の足を、H,X[1],・・,X[n-1].
線分PHに下した垂線の足を、Y[1],・・,Y[n-1]　　とする。
分点の集合　Δ＝{P,Q[1],・・,Q[n-1],E}
折線PQ[1]・・Q[n-1]Eの長さを　L(Δ)　　とおくと
L(Δ)＝PQ[1]＋・・＋Q[n-1]E
＜(PY[1]+HX[1])＋・・＋(Y[n-1]H+X[n-1]E)＝PH＋HE
したがって、弧EPの長さ supL(Δ) が存在し、それを x とおくと
x＝sup L(Δ)≦PH＋HE
つまり、
x≦sinx＋(1-cosx)
[ 1-cosx＜1-(cosx)^2＝(sinx)^2　　だから]
x＜sinx(1＋sinx) -------------------------(1)
また、
PH＜PE≦L(Δ)≦sup L(Δ)＝x　　より sinx＜x ----(2)
(1) (2) より
sinx＜x＜sinx(1＋sinx)
よって
1＜x/sinx＜1＋sinx
x → +0　とすれば　x/sinx → 1

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。

>したがって、弧EPの長さ supL(Δ) が存在し、それを x とおくと

確かにsupL(Δ) が存在します。
しかし、今の所、どんな計算で計算できるかはわかりません。
その立場は、その立場でいいと思います。

sinの定義は書かれていませんが、第一象限の単位円上の点P(a,b)に対して、写像
P(a,b)→a
P(a,b)→b
P(a,b)→x
を考え、
x→P(a,b)→bという写像をsin、
x→P(a,b)→aという写像をcos、
と考えているのですね。

今、解析概論（高木貞治）をみています。
滑らかな曲線の長さの定義を、分点による折れ線の上限と定義し、それは分点の最大幅が０に近づくことと同値（ダルブーの定理）で、微積分の理論展開の途中で、(dx/ds)^2+(dy/ds)^2=1が出てきますが、高木貞治は、「それによって弧と弦の比が極限において１に等しいことは明白である。すなわち、
弧/弦=√(Δx)^2+(Δy)^2/Δs→√(dx/ds)^2+(dy/ds)^2=1
」と述べています。
それは貴殿の立場と同じで、sinｘの存在は示されるけど実際の計算方法は示されない段階での、lim[x→0](sinｘ)/x=1の証明と思います。

高木貞治は別のページで、
∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dxの逆関数が、sinx
と定義しています。
これは最初から実際の計算方法を示してる立場と思います。
それにより、微分が実際に計算でき、マクローリン展開、
sin(x) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...
が示され、lim[x→0](sinｘ)/x=1も示されます。

というように、lim[x→0](sinｘ)/x=1には、２種類の証明の立場があると理解していますが、いかがでしょか？

補足

お礼に書いた、
---------
弧EPの長さ supL(Δ) が存在し、それを x とおく。
第一象限の単位円上の点P(a,b)に対して、写像
P(a,b)→a
P(a,b)→b
P(a,b)→x
を考え、
x→P(a,b)→bという写像をsin、
x→P(a,b)→aという写像をcos、
と考える。
--------
ですが、逆写像（逆関数）の概念を使うには、単調であることをいわなければなりませんが、そうこう考えるといろいろ面倒で、いっそ、
supL(Δ) = ∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dx
であることを示し、それからあとは、（幾何的考察ではなく）解析的考察のみで、lim[x→0](sinｘ)/x=1を示すほうがいいと思っています。

回答No.6

koko_u_

koko_u_ だす。再登場。

>円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義する。
>xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、
>その円弧の折れ線近似の上限がxになるということで、
>それを証明することは円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明と同値、
>そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同内容。アララ

うむ。問題点が絞れてきましたね(ひとり言)。
1.「円弧の長さが存在する」
2.「πの定義は単位円の円弧の長さ(の半分)をもって定める」
3.「sin x の定義は角度 x を円周 2π との比率(あるいは扇形の周長)として計測して、直角三角形の 底辺÷斜辺」

1. については、「円弧の長さ」を内接する正多角形の周長の極限とすれば実数の連続性から得らえると考えます。(上限をもった単調増加数列は収束する)

この極限値を具体的に数列で表現すると、sin x の定義により、単位円を n 等分した多角形の周長から、数列{sin (2π/(2n))}*(2n) ( n = 1,2,3,...) が得られ、この極限の定義が即ち周長 2π

極限値を求める際に sin x の連続性、微分可能性などの仮定は不要で、ただ実数体の連続性によって、{sin(2π/(2n))}*(2n) の極限が存在することが事前に得られていることに注目したい。

お礼

ありがとうございます。
1.「円弧の長さが存在する」
2.「πの定義は単位円の円弧の長さ(の半分)をもって定める」

これはいいと思います。
一般に図形はあいまいな存在なので、円弧という概念を、x^2+y^2=1に書き換えればよりよいと思います。

3.「sin x の定義は角度 x を円周 2π との比率(あるいは扇形の周長)として計測して、直角三角形の 底辺÷斜辺」

角度＝扇形の周長、ですが、それを、内接多角形の周の上限と定義して、その値に対して、円弧の高さを対応させる関数sinxを定義したところで、なにも出来ないと思います。まして、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明しようとしても、出来ないと思います。

つまり、図形といったものから考えようとすると、すべてがあいまいになるので、厳密にしようとすると、すべてを式といったもので表現していくしかないと思います。

回答No.5

ringohatimitu

連続関数の（広義）積分、単調関数の逆関数、それらの微分（微積分学基本定理）から出発すれば厳密にしかも大変見通し良く議論展開することができます。個人的な話ですが昔三角関数の定義などの欠点を色々考えてるうちにこの純解析的方法で定義したらすべてうまくいったのでこれが最良かつ明確だと思ってます。すなわちまずarctanを1/(1+x^2)の[0,t]上での積分として定義しtanをその逆関数として定義します（対数関数、指数関数と同じですね）。次にπ/2を[0,∞]上の積分値として定義します（収束は明らか）。cosはtanとの関係式（これは幾何学的考察によるものですが解析的には単に別の関数を定義したという感じですね）から定義されさらにsinもcosから定義されます。符号、積分、逆関数など多少面倒な手続きですが厳密性を求める上ではしょうがないです。このsinを実際に自分で書き下してみれば分かりますが、求める極限はロピタルを使うだけで大丈夫です。変数変換や逆関数の微分や合成関数の微分など初等的手続きだけですぐ得られますので試してみてください。

お礼

ありがとうございます。
そもそもsinxの定義をどうするかですね。

１.複素関数exp(z)=Σ_{n=1}^{∞}z^n/n!とし、sin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)と考える。

２．logx=∫[1,x]1/xで定義し、逆関数で、exp(x)を定義し、解析接続で複素関数にし、sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)と考える。

３．∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dxの逆関数が、sinx。

４． sin(x) = x/1! + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! +...で定義。

５．f''(x)=-f(x),f(0)=0で定義。

どれも一長一短がありそうですね。
本質的に違う他の定義の可能性はあるのかなあ。

sinxで、xは単位円の弧長（角度）を表していると考えて、幾何学を展開するのであれば、３がよさそうな気がします。

補足

ありがとうございます。
解析概論では、有理関数の積分から三角関数を導く立場に固執するなら、
∫[0,x]1/(1+x^2)dx
から出発するのが自然であるが、その過程は単純でない。
もし、三角関数が知られていなければ、円弧の計算上、自然に
∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dx
に遭遇するだろう。

と書かれていました。