lim(x→0) (1/x-1/tanx)

質問

lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (1-1/(sinx)^2)=1
と解きました。友達は写真のように解きました。答えが違ってしまいました。何が間違っていますか？

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

＞lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (1-1/(sinx)^2)=1
と解きました。
零点の駄目な回答です。ロピタルの定理の適用条件を教科書または参考書で確認してください。「 (1/x-1/tanx)」は1つの分数式ではありませんので、微分しても、意味のない無駄計算です。しかも、1/xの極限を1とするのは間違いです。

＞友達は写真のように解きました。
友達の解答はロピタルの定理を正しく、繰り返し適用し、正しい計算を行って、正しい極限値を求めています。

＞答えが違ってしまいました。何が間違っていますか？
ロピタルの定理を適用する条件が整っていない式に、ロピタルの定理を間違って適用し、しかも計算も間違っています。
友達の回答のように、まず分数式に直してから、その分数式が∞/∞形または0/0形の極限の式になっているかを確認して、ロピタルの定理の適用条件を満たしていることを調べます。
ロピタルの定理が適用可能な条件は、「分数式であって」、分子/分母が「∞/∞形」または「0/0形」の極限であることです。
この問題の極限の式の分数式=(tan(x)-x)/(xtan(x))はx→0の時0/0形になるから、ロピタルの定理の適用条件を満たすので、分子、分母をそれぞれ微分した分数式の極限に等しくなります。

ロピタルの適用条件について、教科書や参考書で復習、確認しておいてください。

お礼

回答ありがとうございます。
後から見て普通に考えたら変なことしてるな～と思いました。すみません。丁寧に回答していただきありがとうございます。よく理解できました。

回答No.2

bran111

まず正解は

lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (tanx-x)/xtanx

級数展開：tanx=x+x^3/3+O(x^5)を使うと

lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (x^3/3+O(x^5))/(x^2+x^4/3+O(x^6))

=lim(x→0) (x/3+O(x^3))/(1+x^2/3+O(x^4))=0

よってロピタルの定理を2回使った友達は正解に達している。

質問者はロピタルの定理をつかったようにみえるが使い方は完全に間違っている。

ロピタルの定理は

f(0)=0 かつｇ(0)=0のとき

lim(x→0) f(x)/g(x)=lim(x→0) f'x)/g'(x)

を言っている。つまり0/0のときの極限値を求める方法だが、質問者の計算はこのパターンを守っていない。支離滅裂である。

さらに

lim(x→0) (1-1/(sinx)^2)=1

は極限値の計算以前の理解不足である。

回答No.1

26803TT519

友達のほうは正しいようですが, 彼方の
＞lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (1-1/(sinx)^2)=1
という変形は, よく理解できません.
途中をもっと詳しく書いてください.