lim(X→0)sin(1/X)とlim（ｘ→0）cos(1/X)って何ですか？

質問

f(X)　=X＾2sin(1/X) (X≠0）
　　　　=0　　　　　　　　（Ｘ＝0）
(1)f’(0)を求めよ。
(2)ｆ’(Ｘ)はＸ＝0で連続であるか

という問題なのですが、（１）は解けたのですが、（２）が分かりません。

ｆ’(Ｘ)を求めようと思ってｆ(Ｘ)を微分しました。
ｆ’(Ｘ)＝2Ｘsin(1/X)－cos(1/X)　　となりました。
そしてlim（Ｘ→０）ｆ’(Ｘ)を求めればいいのかと思ったのですが、
lim(X→0)sin(1/X)とlim（ｘ→0）cos(1/X)が分かりません。

（２）の答えは『lim（Ｘ→０）ｆ’(Ｘ）は存在しないため、連続ではない。』なのですが、lim(X→0)sin(1/X)とlim（ｘ→0）cos(1/X)が存在せず、（１）で求めた数とは一致しないため連続ではないという考えでいいのでしょうか？

お願いします。

回答No.2

noname#252183

◆関数ｆ（ｘ）がｘ＝ａにおいて微分可能であるためには、
1. ｆ(ｘ）がｘ＝ａで連続、かつ
2．lim<x→a>｛ f(x)－f(a) ｝/（x－a） の極限が存在する
なお、関数 f(x) がｘ＝ａで微分可能なら、その点で f(x)は連続である。（逆に、連続なら微分可能、は成り立たない。）
-----------
ｆ(ｘ)＝ｘ＾2・sin(1/ｘ) (ｘ≠0）
　　　＝0　　　 　　　　（ｘ＝0）

◆(1) f’(0)を求めよ。
微分の定義から、
f’(0)＝lim<Δx→0>｛ f(0＋Δx)－f(0) ｝/Δx
＝lim<Δx→0>{Δx＾2・sin(1/Δｘ)－0}/Δx
＝lim<Δx→0>Δx・sin(1/Δｘ)、

（ここでΔx→0 でsin(1/Δｘ)の（　）内はlim<Δx→＋0>で＋∞、lim<Δx→－0>で－∞に発散するが、全体が sin の中にあるので絶対値は１以下である。一方 sin の外のΔxは限りなく0に近づくから、結局、）

＝0　（答）

◆(2) ｆ’(ｘ)はｘ＝0で連続であるか
（もし「関数ｆ(ｘ)はｘ＝0で連続であるか」なら、(1)でｆ(ｘ)は微分可能だったので、YES。
ところが今聞かれているのは、導関数が連続かどうか。）

ｆ’(ｘ)＝2ｘsin(1/ｘ)－cos(1/ｘ)

（ｆ(0）＝0 は特別に定義されていたがｆ’(0)は何も定義されていない。）
この式でｘ＝0 のとき単純に 1/ｘ の値が計算できない＝存在しない＝ので、ｆ’(ｘ)はｘ＝0 で不連続。　（答）

◆なお、
>（２）の答えは『lim（Ｘ→０）ｆ’(Ｘ）は存在しないため、連続ではない。』なのですが、
という模範解答(?)は間違い。
例えば ｙ＝｜ｘ｜（絶対値）はｘ＝0でｆ’(ｘ）は（原点の右からの極限と左からの極限が違うため）存在しないが、立派に連続です。

◆と言いつつも、おまけで lim<x→0>ｆ’(ｘ）＝ lim<x→+0>｛2ｘsin(1/ｘ)－cos(1/ｘ)｝を求めてみると、
lim<x→+0> 2ｘsin(1/ｘ)＝0　（ｘ→0、かつ -1≦sin(1/x)≦1より。）
lim<x→+0>｛－cos(1/ｘ)｝＝－cos(+∞）＝振動、
よって lim<x→+0>｛2ｘsin(1/ｘ)－cos(1/ｘ)}　の極限は存在しない。

お礼

回答ありがとうございました。

とても参考になりました。

回答No.1

Tacosan

「lim(x→0）cos(1/x) が存在しない」ので不連続, です.
lim(x→0) sin(1/x) も存在しませんが, 今の場合それは無関係です. (1) が解けているなら無関係であることも分かるはず.

補足

回答ありがとうございます。

なぜ無関係なのですか？