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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n））
cos(x/2)の積を要素に持つ数列の性質と微分の証明
このQ&Aのポイント
- cos(x/2)の積を要素に持つ数列a_nについて、2^n*a_n*sin(x/2^n)の値はｎと無関係であることが証明される。
- 数列a_nの対数をｘで微分した結果、Σ(n=2～∞)1/2^n*tan(π/2^n)＝1/πが証明される。
- 質問者は問題の解法に苦戦しており、(1)の計算と(2)の証明過程についてアドバイスを求めている。
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質問者が選んだベストアンサー
はじめまして。 （１）は倍角の公式（sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)）を使うとおもしろいようにcos(x/2^n)が消えていきますよ。
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- rabbit_cat
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回答No.2
すいません (2)は式がまちがっていました．（わかるとは思いますが） lim(n→∞)[ log( 2^n＊a_n＊sin(x/2^n)) ] =lim(n→∞)[ log(a_n) ] + lim(n→∞)[ log(2^n*sin(x/2^n)) ] の両辺をxで微分してx=πを代入ですね．
- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1
(1)後ろから積和の公式を繰り返し使っていきます． (2)当然(1)を使います． Σ(n=2～∞)[ log( 2^n＊a_n＊sin(x/2^n)) ] =Σ(n=2～∞)[ log(a_n) ] + Σ(n=2～∞)[ log(2^n*sin(x/2^n)) ] の両辺を微分してx=πを代入．
