cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・

質問

cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)=(sin((n+(1/2))x)-sin(x/2))/(2sin(x/2))
となるらしいのですが、これの証明がどうしてもできません。

数学的帰納法や漸化式を考慮して、とりあえずn=1,2,3,・・・で様子を
見てみようとしたのですが、
cos(4x)、４倍角辺りからゴチャゴチャしてきました。
規則も特に見つかりません。

cosをsinに直さなければならなく、その変え方なども複数あり、うまく
整理できません。

どなたか助力のほど、ヨロシクお願いしますm(_ _)m

回答No.2

tur_bo · ベストアンサー

右辺見ると全体を2sin(x/2)で割ってるので、とりあえず左辺にsin(x/2)/sin(x/2)をかけてみます。
sin(x/2){cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)}/sin(x/2)
この式の分子は、
cos(x)sin(x/2)+cos(2x)sin(x/2)+…+cos(nx)sin(x/2)
なのでこれをさらに加法定理の応用（名前忘れた）で展開して行くと、展開された項がどんどん消えて与式の右辺が得られると思います。

ちなみに加法定理は、
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
なので、使うのは、
cosαsinβ = {sin（α＋β）- sin（α－β）} / 2

お礼

解けました！！
頭いいですね(^^;)
本当に助かりました！！
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

YHU00444

実感したと思いますが、「倍角の公式」って面倒でしょう？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5
実際、cos(nθ)をcosθについて解いた式というのをチェビシェフ多項式というのですが、これは↓でも解説されているとおり非常にやっかいな式になりますから、こちらで計算したらそれはもう大変なことになるわけです。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm

ですので、この手の計算では次のオイラーの公式を使いましょう。
exp(iθ)=cosθ+isinθ ∴cosθ={exp(iθ)+exp(-iθ)}/2
これを使うと、ド・モアブルの定理によりcos(nθ)={exp(inθ)+exp(-inθ)}/2ですから、あとは単なる等比級数の計算です。

※計算して様子を見るのは、「ダメっぽい」のを確認するためでもあります。

お礼

オイラーの公式とド・モアブルの定理を使って、単なる等比級数の計算になったのですが、整理するとまたcosになってしまい、sinの形にできませんでした。

計算ミスかなと思いもう１度やってみたのですが、ダメでした(><)

でも、他の方法でなんとか解けました！

アイディアありがとうございましたm(_ _)m

解き方って、色々あるんですね(^^;)