3sin(2x) のフーリエ展開

質問

「3sin(2x) を　[-π,π]でフーリエ展開しなさい。」という問題があったのですが、

　　　　　　　　　　　　　　　　　∞
フーリエ級数　(1/2)*a_0 + Σ[ a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx) ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　n = 1

のa_0 とa_n と　b_n について、

　　　　π
a_0　＝∫3sin(2x) = 0
　　　　-π　

　　　　π
a_n　＝∫3sin(2x)cos(nx) = 0 (3sin(2x)cos(nx)は偶関数だから０）
　　　　-π　

と、ここまでだしたのですが、どうしても次の、

　　　　π
b_n　＝∫3sin(2x)sin(nx) = 0
　　　　-π　

を求めることができません。このb_nの求め方を教えてください。
そもそもこれはフーリエ級数で表すことができるのでしょうか？

回答No.1

aomo · ベストアンサー

nが2でないとき
sin(2x)sin(nx)={cos((2-n)x) - cos((2+n)x)}/2
のように三角関数どうしの積を和に直せばb_nが求まります。
nが2のときはb_nは0になりません。
　 π
>b_n=　∫3sin(2x)sin(nx)dx=0
-π
フーリエ係数は周期の半分(今はπ)で割るのが正しいです。
　　　　 π
b_n=(1/π)∫3sin(2x)sin(nx)dx=0
　　　　 -π
>そもそもこれはフーリエ級数で表すことができるのでしょうか?
a_n=0,n=2以外でb_n=0なので結局フーリエ級数の項は3sin(2x)しか
のこらなくなりますね。私も勉強不足でわかりません。

お礼

すばやい解答ありがとうございます！
なるほど、n=2のときは０にならないということを
見落としていました。
結局3sin(2x)のようなものを[-π,π]でフーリエ展開しても
3sin(2x)としかでてこないみたいですね。
ほかのフーリエ展開の問題にはきちんと解説がのっていて、
この問題には、
答えのところに3sin(2x)としかのっていなかったので
aomoさんの説明でやっとその意味が理解できました。
ありがとうございます！