【フーリエ展開】sin[x]^3 (-Pi < x < Pi)のフーリエ級数展開で

質問

f(x)=sin[x]^3 (-Pi < x < Pi)のフーリエ級数展開をしたいのですが、私の計算によると正弦級数が0になってしまいます。余弦級数が0なのは、上記の関数が奇関数だからで納得できますが、どうもこれはおかしいです。

私の解き方を説明すると、まずf(x)=sin[x]^3をsin[x]-((1-cos[2t])/2)と直し、bk=(1/Pi)∫(-Pi->Pi) f(x)*sinkt dt となり、これを解くと0になりました。どこが間違っていて、どうしたら解けるのでしょうか？

何卒ご教授下さい

回答No.1

proto · ベストアンサー

sin(x)^3 = sin(x) -(1 -cos(2x))/2
の変形が違うようですよ。

正しくは
　　sin(x)^3 = sin(x)*(1 -cos(2x))/2
ただ、これでもまだ積分しにくいので更に変形して
　　sin(x)^3 = sin(x)/2 -sin(x)cos(2x)/2
　　　　　　 = sin(x)/2 -(sin(3x)+sin(-x))/4
　　　　　　 = 3*sin(x)/2 -sin(3x)/4
までするのがいいと思います。

お礼

初歩的なミスでした、恥ずかしいです＞＜
丁寧な解説、分かりやすかったです。
どうもありがとうございました！

回答No.2

info22

> まずf(x)=sin[x]^3をsin[x]-((1-cos[2t])/2)と直し、
式が間違いです。

3倍角に公式
sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x
から
sin^3 x = (3/4)sin x -(1/4)sin 3x
です。この関数の（基本）周期は2πですから
これはもうフーリエ級数展開された形をしています。
a0=0, bk=0 (for all k)
a1=3/4, a2=0, a3=-1/4, ak=0 (for k>=4)
ということですね。

お礼

既にフーリエ級数展開された形というのが驚きです。こういうこともあるのですね！

どうもありがとうございました！

一つ疑問が残りました
「この関数の（基本）周期は2πですから
これはもうフーリエ級数展開された形をしています。」
というのがよく分かりません・・・