フーリエ級数について

質問

次の問題を解いてください。

f(x)を区間-π≦x≦πで連続かつf(-π)=f(π)をみたし、その導関数f'(x)が区分的に連続な関数とする。f(x)が、
F(x)=a_0/2+Σ[n=1,∞](a_n cos(nx)+b_n sin(nx))
とフーリエ級数に展開されるとき、以下の問いに答えよ。

(1)f'(x)をフーリエ級数に展開したときの展開係数をa_n,b_nを用いて表せ。
(2)(1)式の右辺をxで微分し(フーリエ級数の項別微分)、これを(1)と比較せよ。

くわしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f'(x)=c_0/2+Σ[n=1,∞](c_n cos(nx)+d_n sin(nx)) とおくと
c_0=(1/π)∫[-π,π] f'(x)dx=(1/π)[f(x)][-π,π]
　=(1/π)[f(π)-f(-π)]=0
c_n=(1/π)∫[-π,π] f'(x)cos(nx)dx
部分積分
　=(1/π){[f(x)cos(nx)][-π,π]-∫[-π,π] f(x) (-n)sin(nx)dx}
　=(1/π)[(-1)^n*(f(π)-f(-π))]+n(1/π)∫[-π,π] f(x)sin(nx)dx
　=n b_n
d_n=(1/π)∫[-π,π] f'(x)sin(nx)dx
部分積分
　=(1/π){[f(x)sin(nx)][-π,π]-∫[-π,π] f(x) ncos(nx)dx}
　=(1/π)[f(π)*0-f(-π)*0]-n(1/π)∫[-π,π] f(x)cos(nx)dx
　=-n a_n

(2)
F(x)=a_0/2+Σ[n=1,∞](a_n cos(nx)+b_n sin(nx))
F'(x)=0+Σ[n=1,∞](a_n (-n)sin(nx)+b_n n cos(nx))
　=0+Σ[n=1,∞](nb_n cos(nx)-na_n sin(nx))
　=c_0/2+Σ[n=1,∞](c_n cos(nx)+d_n sin(nx))とおくと
　c_0=0, c_n=n b_n, d_n=-n a_n

(1)の結果と比較すると一致する。