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フーリエ級数の基礎
フーリエ級数はそのグラフが奇関数ならフーリエ正弦級数、偶関数ならフーリエ余弦級数に展開できますよね? そこでf(x)=x(0<x<π)を満たす各xについて f(x)=2Σ(k=0~∞){(-1)^k-1/k}sinkx が成り立つことを証明せよって問題なんですが、 証明する式って言うのは正弦級数展開と同じですよね? でも、奇関数ではないのにこのように展開できるのはなぜですか? あと、これをフーリエ級数に展開するっていうのは ↑の正弦級数と余弦級数を単に足せばいいんですか? いまいちわかっていないので解説おねがいします。
- greenboy291295
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f(x)=2Σ(k=0~∞){(-1)^k-1/k}sinkx この関数は、定義域が、実数全体です。 この実数全体で定義された関数の一部分 すなわち、(0<x<π) に制限した部分が f(x)=x(0<x<π) のグラフと一致している。 ということです。 また、 f(x)=x(0<x<π) は、 (場合1) 関数f(x)=x(-π<x<π) の一部と見ることも出来るし、 あるいは、 (場合2) f(x)=-x(-π<x<0) f(0)=0 f(x)=x(0<x<π) の一部と見ることも出来る。 従って、それぞれ周期的に拡張して考えることにすれば、 奇関数をフーリエ展開したものを(区間0<x<π) で考えたものとして等式の成立を主張することも出来るし、 偶感数をフーリエ展開したものを区間0<x<π で考えたものとして、別の等式の成立を主張する こともできます。 したがって、 1.関数を拡張する。 2.拡張の仕方で偶関数にも、奇関数にもなる 3.それぞれの場合でフーリエ展開する。 4.定義域を制限してその区間で等しいと主張する となります。 追加が必要なら言ってください。
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- proto
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-π<x<0の範囲でのf(x)が指定されてないでしょうか f(x)を奇関数として展開するのなら f(x)=x (-π<x<π) と同じですし f(x)を偶関数として展開するのなら f(x)=-x (-π<x<0),x (0<=x<π) と同じです どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます f(x)が奇関数ならば ∫[-a,a]f(x)dx=0 f(x)が偶関数ならば ∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx
補足
0<x<πしか指定されていません。 >どちらの場合でも奇関数と偶関数の積分の公式が使えます >f(x)が奇関数ならば >∫[-a,a]f(x)dx=0 >f(x)が偶関数ならば >∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx はい。それは高校で習ってるので十分わかっております。 僕が聞きたいのは奇関数でない与式がなぜフーリエ正弦級数に展開できるのかってことなんです・・・。 それとも問題自体がおかしいんですかねぇ・・・? よろしくおねがいします。
- adinat
- ベストアンサー率64% (269/414)
f(x)=x (-π<x<π) ならどうですか?フーリエ正弦級数展開できますよね、奇関数だから。 これを0<x<πに制限して考えればいいんです。
補足
回答ありがとうございます。 制限するとはどういうことかいまいちわかりません・・・。 積分区間をO~πにすることでしょうか??(1/πにして) でもそれなら求めたい式の半分の値になってしまうし・・・ もう少しヒントください。
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お礼
ありがとうございます。 区間が小さければ偶関数にも奇関数にもなりうるってことですね。 丁寧な説明ありがとうございました。