フーリエ級数です。

質問

f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)

問1)フーリエ余弦級数展開を求めよ。

問2)フーリエ正弦級数展開を求めよ。

これらの答えを教えてください。
お願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の2)の最後の式にsinの項が転記時に抜けていましたので訂正してください。

>f(x)=(16/π^3)Σ[1,∞] {(1-(-1)^n)/n^3}
f(x)=(16/π^3)Σ[1,∞] {(1-(-1)^n)/n^3}sin(nπx/2)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

info22_

1)
フーリエ余弦級数展開の定義（参考URL参照）によれば
f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)
これに
f(x)=f(-x)=-x(2+x) (-2≦x≦0)
を補って周期L=4の偶関数としてからフーリエ級数展開することにより
フーリエ余弦級数展開が得られる。
a0=(2/2)∫[0,2] x(2-x)dx=[x^2-x^3/3](x=2)=4-(8/3)=4/3
n≧1で
an=(2/2)∫[0,2] x(2-x)cos(nπx/2)dx=-8(1+(-1)^n)/(nπ)^2
bn=0

f(x)=a0/2-(8/π^2)Σ[n=1,∞] {(1+(-1)^n)/n^2}cos(nπx/2)

2)
f(x)=x(2-x)　(0≦x≦2)
これに
f(x)=-f(-x)=x(2+x) (-2≦x≦0)
を補って周期L=4の奇関数としてからフーリエ級数展開することにより
フーリエ正弦級数展開が得られる。
n≧0で an=0
n≧1で
bn=(2/2)∫[0,2] x(2-x)sin(nπx/2)dx=16(1-(-1)^n)/(nπ)^3
f(x)=(16/π^3)Σ[1,∞](1-(-1)^n)/n^3

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node65.html