フーリエ級数がわかりませんΓ(；Д；)ヽ

質問

フーリエ級数がわからなくて困っています(;Δ;)
わかる方、教えてください<(;Δ.)>
お願ぃしますm(__)m

ｆ（ｘ）=a・cos*2 (2πx/L)
のフーリエ係数を求めよ。（周期はL）
ただし、（n-1/2)L ＜x≦(n+1/2)L, nは任意定数。

回答No.6

info22

#2,#4です。
A#2の補足の質問の回答
＞＞(A)は周期L/2の関数になっています。
確かにグラフはそうなりました！
ということは、本当の周期はL/2で問題文のLは間違いということなのでしょうか？？
間違いではないですが、フーリエ係数を積分で計算する問題としては適切な問題でないですね。倍角の公式でf(t)は定数＋cosの項に変形できますので、もうすでにフーリエ級数展開された式同然といえます。
周期Lと周期L/2と考えるかは
基本周期がTo=L/2と見るかTo=Lと見るかの相違だけです。
通常はf(x)の直流分（平均値）を除いた最低周波数成分fo=1/To=2/Lの逆数To=L/2とするのが一般的です。
展開式が変わるわけではありませんのでa_nやb_nが形式上変わるだけです。
基本周期To=L/2とした時は
f(x)=a_0/2 + a_1 cos(2πx/To）=a/2 + (a/2) cos(4πx/L)
a_0=a, a_1=a/2,a_n=0(n=2,3,4,5,…), b_n=0(n=1,2,3,…)

また基本周期To=Lとした時は
f(x)=a_0/2 + a_2 cos(2π・2x/To）=a/2 + (a/2) cos(4πx/L)
a_0=a, a_1=0,a_2=a/2,a_n=0(n=3,4,5,…), b_n=0(n=1,2,3,…)

となります。質問の問題のようにTo=Lと指定した場合は、
To=L/2の場合の展開係数a_nがa_(2n)となって、a_(2n-1)=0(n≧1)となります（奇数項が全てゼロ）。結果の展開式は同じになります。

なお、
#3さんのA#3の解答のa_n(n=0,1,2,…)は全て正しくないですね。
形式的にMathematicaを適用しても正しい結果の式にはなりませんね。
他分、式の適用の仕方を間違えて見えるのでしょう。
a sin(2πx/L)の展開でもないですね。

回答No.5

KappNets

No.3 です。私の文章でg=a*cos(x)と書いてあるように「g=a*cos(x)で計算」しました。展開式ともとのf関数との比較はやっておりませんのでそちらでお願いいたします。mathematicaの計算は簡単ですので、私のアプローチに間違いがあったりしたような場合には、指摘いただければやり直しはすぐに可能です。

回答No.4

info22

#2です。
A#2の補足です。
＞　f(x)=(a/2)+(a/2) cos(2π(2fo)x),fo=1/L
＞　=a0/2+a2 cos(2π(2fo)x)
f(x)は偶関数ですからsinの展開項は存在しませんのでbnは
bn=0 (nは自然数、n=1,2,3,…)
である事は自明です。

回答No.3

KappNets

私はフーリエ級数には慣れていません。下記のURLを見ながらmathematicaでやってみたことをお伝えします。普通は関数fは周期2*paiであることを仮定しますが、この場合のfは「周期の変更」がされていて周期は-L/2<x<L/2です。この場合はg=a*cos(x)にcos(n*pai*x/(L/2))（あるいはsin）をかけ、積分範囲を-L/2<x<L/2として、積分結果を(L/2)で割ることでフーリエ係数を求める、ということのようです。結果は
a0=4*a*sin(L/2)/L
a1=-4*a*L*sin(L/2)/(L^2-4*pai^2)
a2=4*a*L*sin(L/2)/(L^2-16*pai^2)
a3=-4*a*L*sin(L/2)/(L^2-36*pai^2)
a4=4*a*L*sin(L/2)/(L^2-64*pai^2)
a4=-4*a*L*sin(L/2)/(L^2-100*pai^2)
b0=b1=...=0
となりました。LなのかL/2なのかといった辺りが紛らわしいのですが、如何でしょうか。

分母の級数の規則性はよくわかりませんが、手計算でやってみれば分かると思われます。cos*cosの積分は積を和に変える公式を使ってからやればすぐ出来る筈です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0

補足

ありがとうごさいますｍ（＿＿）ｍ
わざわざ計算までして頂いて…

ところで一つ質問なのですが、g=a*cos(x)で計算してもらったのでしょうか？？

回答No.2

info22

f(x)=a{cos(2πx/L)}^2=a/2+(a/2)cos(4πx/L)　…(A)
のグラフを描いて見ましたか？
＞（周期はL）
＞ただし、（n-1/2)L ＜x≦(n+1/2)L, nは任意定数。
から、「nは任意定数」ではなくて、「nは任意の整数」
だと考えられますが、違いますか？
「任意の定数」は一般に「任意の実数の定数」の意味で
使います。

疑問点
・(A)は周期L/2の関数になっています。
・(A)は（n-1/2)L ＜x≦(n+1/2)L（nは任意の整数）の周期で区間分割した表現をしなくても、xの実数の範囲で(A)のf(t)の関数で書ける。
・(A)のf(x)=a/2+(a/2)cos(4πx/L)の式はすでにフーリエ級数に展開された形式となっています。

従って(A)式をフーリエ級数の展開式の係数と比較するだけです。
＞フーリエ係数を求めよ。（周期はL）
周期をLと考えた場合,フーリエ展開係数は
f(x)=(a/2)+(a/2) cos(2π(2fo)x),fo=1/L
=a0/2+a2 cos(2π(2fo)x)
ですから
a0=a,a2=a/2
an=0(nは0,2を除く、n=1,3,4,5,6,...)

補足

ありがとうございますｍ（＿＿）ｍ
ご指摘どおり、任意の整数のまちがいでした(><)

質問があります（＞＜）

＞(A)は周期L/2の関数になっています。
確かにグラフはそうなりました！
ということは、本当の周期はL/2で問題文のLは間違いということなのでしょうか？？
＞(A)は（n-1/2)L ＜x≦(n+1/2)L（nは任意の整数）の周期で区間分割した表現をしなくても、xの実数の範囲で(A)のf(t)の関数で書ける。
このことから、具体的になにがわかるのでしょうか？？
すみません（；><）お願いしますm(><)M

回答No.1

KappNets

cos*2 (2πx/L)
がわかりません。「*」を「かける」の意味に理解すると意味不明になります。
(cos(2πx/L))^2
の意味でしょうか。

補足

KappNetsさん

すみません(><)
ご指摘の通りです、
cos^2 (2πx/L)でしたｍ（＿＿）ｍ