x=（cos80°)^3, y=（sin80°)^3

質問

x=（cos80°)^3, y=（sin80°)^3
は作図可能な点ですか、それとも不可能な点ですか？

証明があれば、お願いします

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

三倍角公式より
4(cos80°)^3 - 3 cos80°= cos240°= cos120°
-4(sin80°)^3 + 3 sin80°= sin240°= -sin120°
ですから、
(cos80°)^3 = (1/4) cos120°+ (3/4) cos80°
(sin80°)^3 = (1/4) sin120°+ (3/4) sin80°
と書けて、点 (x,y) は
(cos80°,sin80°) と (cos120°,sin120°) の
有理比内分点の一つと判ります。
点 (cos120°,sin120°) は容易に作図できるので、
(x,y) が作図可能かどうかは、(cos80°,sin80°) が
作図可能かどうかと同値です。
(cos80°,sin80°) = (sin10°,cos10°) ですから、
正 360/(10×2) 角形が作図可能かどうかとも同値ですね。
結論から言えば、これは作図可能ではありません。
理由はガウスによる。↓
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/impossible.htm
http://hooktail.sub.jp/algebra/ConstructablePolygons/

お礼

回答ありがとうございます!!

すっきりしました