y=sinθ-3cosθ の合成ってどうやりますか

質問

y=sinθ-3cosθ の合成ってどうやりますか？
普段は座標点をとって角度を求めて考えているのですが、これだと角度がわかりません。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

sinθ-3cosθ = (√10) }*{ (1/√10)sinθ - (3/√10)cosθ }
までは良いとして、
　arccos(1/√10) をどう勘定するの…？
ということらしい。

テストなら、φ= arcsin(3√10) で勘弁してもらうしかなさそう。

実務なら「表引き」とか…。

近似値でも勘定してみたけりゃ、

　sinc(φ) = sinc(φ)/φ

　　∞
　= Π cos(φ/2^k)
　　k=1

から、スプレッドシートで。
　(k = 0 ～ 10)
　 arcsin(3√10) = 1.2490 (rad) = 71.57 (deg)

回答No.2

ereserve67

P(1,-3)とすると動径OPとx軸の作る角をα(0<=α<360°)とするとOP=√(1^2+(-3)^2)=√10であるから
(☆)　cosα=1/√10、sinα=-3/√10
これを満たす角αは45°とか60°のような有名角ではありませんが、第4象限の角であることは作図でわかります。厳密値は（☆）から三角比の表や計算機を使って近似的にもとめることはできます。またαの範囲は|α|が小さくなるように-180°<α<=180°とすることもあります。例えば下記のサイトで計算するとαは約-71°になります。そこではsin(x)(-90°<=x<=90°)の逆関数arcsin(x)(-1<=x<=1)が計算できるようになっています。Wikipediaのサイト（逆三角関数で検索）すると級数展開表示
(★) arcsin(x)=x+x^3/6+3x^5/40+…(-1<=x<=1)
が確認できます。ただしこれは弧度法表示です。ちなみにこの式のxの３次までで計算すると約-66°となって精度はよくありません。もっと高い次数の項までとれば精度はよくなります。
数学のテストの問題は手計算がしやすいように有名角（30°、45°等）がでてくるように人為的に作られているのです。

※そのようなαを使うとr=OPとおくとP(rcosα,rsinα)であるので（図省略）
sinθ-3cosθ=rsinθcosα+rcosθsinα=rsin(θ+α)=√10sin(θ+α)

参考URL：

http://keisan.casio.jp/exec/system/1260315699

回答No.1

bran111

√(3^2+1^2)=√10,

cosα＝1/√10, sinα＝3/√10, α=arcsin(3/√10)=arctan(3)

となるαを導入すると

y=sinθ-3cosθ =√10[sinθ*(1/√10)-cosθ*(3/√10)]=√10[sinθ*cosα-cosθ*sinα]=√10sin(θ-α)
α=arctan(3)