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cos合成について

xが実数、y≧0、x^2+y^2=2のとき2x-5yの最小値、最大値を求めよ という問題で、x=√2cosθ、y=√2sinθとおいて解きたいのですが 解説ではcosの合成で解いています。 私はsinの合成で解いたのですが答えが合いません。 ちなみに答えは最小値-√58 最大値2√2です。 この問題はsinの合成では解けないのでしょうか。 解けるなら解説をお願いします。 また、cosの合成を使った方がいい場合はどのようなときなのでしょうか。 質問が多くてすみません。回答お願いします。

noname#202881

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「sinの合成」ってよくわかりませんが、 sinの加法定理を使うという意味なら z = 2x - 5y, x=√2cosθ、y=√2sinθ (θ=0~π)とすし z = 2√(2)cosθ-5√(2)sinθ=Asin(θ+B) とすると Asin(θ+B)=AcosθsinB + AsinθcosB なので 2√(2)=AsinB, -5√(2)=AcosB (AsinB)^2 + (AcosB)^2 = A^2 = (2√(2))^2 + (-5√(2))^2 = 58 A = √(58) sinB=5√(2)/√(58), cosB=-5√(2)/√(58) つまり B は第2象限 以上から z = √(58)sin(θ+B) θ+B は第2~4象限で変化するので、最小値は -√(58) 最大値はθ=0 だから z= 2√(2)

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質問者からのお礼

ああ!わかりました!! sinを勝手に第1象限として考えていたのでプラスマイナスが反対になっていました。 すっきり解決です!本当にありがとうございました!

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例解と質問者さんの答えが どのように合わないかを 具体的に示してください。

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質問者からの補足

例解 y≧0より0≦θ≦π 2x-5y=2√2cosθ-5√2sinθ=√58cos(θ+α) ただしcosα=2/√29 sinα=5/√29をみたす α≦θ+α≦π+αより -1≦cos(θ+α)≦2/√29 -√58≦2x-5y≦2√2 私の答え 2x-5y=-5√2sinθ+2√2cosθ=√58sin(θ+α) sinα=2/√29 cosα=-5√29 α≦θ+α≦π+αより sinα≦sin(θ+α)≦sin(π+α)=-sinα -sinα≦sin(θ+α)≦1 最小値-2√2 最大値√58 という風にプラスマイナス逆になってしましました

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