sin＾4θ-cos＾4θ=1-2cos＾2θを証明

質問

sin＾4θ-cos＾4θ=1-2cos＾2θを証明せよという問題で、
(sin＾2θ+cos＾2θ)＾2=1＾2
sin＾4θ+2sin＾2θcos＾2θ+cos＾4θ=1
sin＾4θ+cos＾4θ=1-2sin＾2θcos＾2θ
sin＾2θ+cos＾4θ/sin＾2θ=1-2cos＾2θ
この先はどう考えたらいいのでしょうか？よそしくお願いします。

回答No.3

noname#24129 · ベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺－右辺=変形式=0
∴　左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をＰ、右辺をＱとすると、
Ｐ－Ｑ＝0となれば、Ｐ＝Ｑがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、Ｐ－Ｑを書き下すと、

Ｐ－Ｑ
=q^4-p^4+2p^2-1
=-{p^4-2p^2+(1-q^4)}　　(pについて整理した)
=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)}　(因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
Ｐ－Ｑ
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、Ｐ=Ｑである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

お礼

ご回答ありがとうございます！丁寧に細かく説明していただいて、よく理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

ccyuki

まずとっても気になるのは証明の答案の書き方です。
はじめから左辺=右辺みたいに書くのではなくて、
左辺をスタートにして計算をしていったら右辺になりました　みたいに書かないと内容が正しくても点数になりませんよ。＝かどうかわからないから証明するのですから。。。

sin＾4θ-cos＾4θ　　　　(A^2-B^2=(A+B)(A-B) の因数分解)
=(sin^2θ+cos^2θ)(sin^2θ-cos^2θ)　　(sin^2θ+cos^2θ=1だから)　
=sin^2θ-cos^2θ　　　(sin^2θ+cos^2θ=1だからsin^2θ=1-cos^2θ)
=1-cos^2θ-cos^2θ=1-2cos＾2θ

お礼

ご指摘ありがとうございます！勉強になりました。

回答No.1

alkantala

(sin＾2θ+cos＾2θ)＾2=1＾2
をスタートにするのではなく、
恒等式 x^2-y^2=(x-y)(x+y) を使って
sin＾4θ-cos＾4θ = (sin＾2θ-cos＾2θ)(sin＾2θ+cos＾2θ)
= (sin＾2θ-cos＾2θ)×1 = …
とすればよいのではないでしょうか？

お礼

なるほど、ありがとうございます！