数学的帰納法ぬきで二項定理を証明したい

質問

こんにちは。たとえば、微分の公式
D(x^n)=nx^(n-1)
を証明したいとき、数学的帰納法で証明することも出来ますが、それだと微分の結果の予想をしなければならず、初見者には天下り的でなんとなく不満が残ります。
できることなら、演繹的に示したい。
D(x^n)=nx^(n-1)においては、対数微分を使えば示せます。

そして、二項定理
(a+b)^n = Σ[k=0,...,n](nCk) (a^k) (b^(n-k))
ですが、これを数学的帰納法ぬきで証明したいのです。
いいアドバイスをお願いいたします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

組合せ論的に証明する手があります
（昔は「確率・統計」の教科書にでてたんですが）．

(x+y)^n を展開したときの各項は C(n,r) x^{r} y^{n-r}
と書ける．ここで C(n,r) は係数である．
展開したときに現われる
x^{r} y^{n-r} は
xをr個，yを(n-r)個掛けることで構成されるので
その出現回数は，n個からr個のものを選ぶ個数に等しい
つまり，C(n,r)は組合せの数 nCr である．
よって二項定理は証明できた．
＃この手法だと「多項定理」も出せるはず

二項定理を微分とかで証明する場合には
論理的には循環論法に注意する必要があります．
例えば，対数微分でx^nの微分を示したとして，
それで二項定理を示したとします．
ところが。。。対数微分の根底にある自然対数の底 e の存在の
証明に二項定理が使われることがあります．
例えば，(1+(1/n))^{n} の極限で e を定義する場合，
一般的な議論では二項定理を使います．

もっとも，こういう循環とかを気にせず（循環の存在は意識して欲しい）
いろいろな切り口で一個の定理をみるのは
大変重要だということは間違いないです．
＃ちなみに，No.1さんのアイデアは
＃Taylor展開という手法に通じるもので
＃極めて重要な手法です．

回答No.3

Kules

D(x^n)=nx^(n-1)は対数微分を使わなくても示せますよ～二項定理を使えば^^;
ここから書くlim はlim(h→0)のことだと思ってください。
また、乗算記号は用いず一部はスペースで代用しています。
微分の極限での表記
lim{(x+h)^n-x^n}/h
=lim[{nC0 x^n+nC1 x^(n-1) h+nC2 x^(n-2) h^2+…+nCn h^n}-x^n]/h
=lim[{x^n+n x^(n-1) h+n(n-1)x^(n-2) h^2+…+h^n}-x^n]/h
=lim{n x^(n-1) h+n(n-1)x^(n-2) h^2+…+h^n}/h
=lim{n x^(n-1)+n(n-1)x^(n-2) h+…h^(n-1)}
=n x^(n-1)

という風に、高校数学に数IIまでの知識でも実は整関数の微分を証明することはできます。さらに関数の商の微分・逆関数の微分などを用いればnが実数ならば証明できます。

「そんなこと聞いてないよor知ってるよ」「読みにくいよ」とかつっこみを受けそうですが、ご参考までに。

お礼

みなさま、有意義なご意見ありがとうございました。

回答No.1

y_akkie

まず、(a+b)^n/b^n = (1+(a/b))^nとし、x=a/bとおき、
f(x)=(1+x)^nの関数を定めます。
f(x)はy=x^nをx軸の正方向に１だけ移動した多項式関数になるので、
f(x) = a0 + a1x + .... + anx^nで表されます。
そして、まず、f(0)=a0=(1+0)^n=1よりa0が1に成る事が分かります。
これはすなわち、nC0という事になります。
次に、f'(x) = n(1+x)^n-1 = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + .. + nanx^n-1
より、f'(0) = n = a1になり、a1 = nすなわちnC1である事が分かります。
このように、k回微分したときにx^kの係数であるakの値が定数項になり、k次導関数のxの値に0を代入すれば、
(k(k-1)...1)ak = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)の関係式が得られ、これにより、ak=nCkになる事が分かります。
このようにして、各係数を求めていけば、
f(x) = Σ[k=0:n]nCkx^kの多項式を得る事になります。
最後に、(1+a/b)^n = Σ[k=1:n]nCk(a/b)^kとなる事から、
両辺にa^nをかけてやれば、
(a+b)^n = Σ[k=1:n]nCk a^k b^(n-k)になる事が分かります。

こんな感じで如何ですか？