• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。)

数学的帰納法を用いた証明問題の解説

このQ&Aのポイント
  • 数学的帰納法を用いた証明問題の解説です。
  • 問(a)では、関数g(x)のn次導関数g^(n)(x)を求める問題です。
  • 問(b)では、数学的帰納法を用いて公式(P)を証明する問題です。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

変な問題だね。 どうして (b), (a) の順番じゃないんだろう? だから誤解が起こるんだろうが、 > n≧3のときh^(n)=0であるのはわかります。 (b) は、(a) の例に限って成立を示すんじゃなく、 一般の n 回微分可能な f(x) について (P) を 示すんだと思うよ。 n=1 のときは、「明らか」だけじゃなく、 積の微分法に帰着されることを書いといたほうがいい。 n=k で成り立つとすると、 (d/dx)^k { e^x f(x) } = Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) だから、 (d/dx)^(k+1) { e^x f(x) } = (d/dx) (d/dx)^k { e^x f(x) } = (d/dx) Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) = Σ[r=0からk] t(k,r) (d/dx) e^x f^(r)(x) = Σ[r=0からk] t(k,r) { e^x f^(r)(x) + e^x f^(r+1)(x) } = Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) + Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r+1)(x) = Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) + Σ[r=1からk+1] t(k,r-1) e^x f^(r)(x) = e^x f^(0)(x) + Σ[r=1からk] {t(k,r) + t(k,r-1)} e^x f^(r)(x) + e^x f^(k+1)(x) = e^x f^(0)(x) + Σ[r=1からk] t(k+1,r) e^x f^(r)(x) + e^x f^(k+1)(x) = Σ[r=0からk+1] t(k+1,r) e^x f^(r)(x).

usamingosu
質問者

お礼

非常にわかりやすい解説ありがとうございます。 丁寧に教えていただき大変感謝しています。 自分には少し式の変形が難しいですね。要復習します。

関連するQ&A

専門家に質問してみよう