数学の問題：関数f(x)の帰納的な定義とa(n)、b(n)の求め方について
- 数学の問題において、関数f(x)の帰納的な定義とa(n)、b(n)の求め方について説明します。
- 関数f(x)の定義は、f1(x)=4x^2+1、fn(x)=3a(n)x^2 + 3b(n)であり、帰納的に定義されています。
- a(n)とb(n)の求め方については、a(n) = 2a(n-1)、b(n) = a(n-1) + 3b(n-1)という漸化式を用いて求めることができます。
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数学の問題
数学の問題 関数f(x) (n=1,2,3,・・・) は f1(x)=4x^2+1 fn(x)=∫[1～0] ｛ 3x^2 * t * f'(n-1)(t) + 3f(n-1)(t) ｝ dt 、 (n=2,3,4,・・・) で、帰納的に定義されている。このfn(x)を求めよ。 という問題です。解説で tで積分なので、定数は前に出して fn(x)=3x^2∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ + 3∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt ここで ∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = a(n) ∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt = b(n) とおく。 fn(x) = 3a(n)x^2 + 3b(n) a(n)とb(n)を求めれば、fn(x)がわかります。 f(n-1)(x) = 3a(n-1)x^2 + 3b(n-1) f(n-1)'(x) = 6a(n-1)x です。 a(n) =∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = 2a(n-1) b(n) =∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ = a(n-1) + 3b(n-1) a(n) = 2a(n-1) より、｛a(n)｝は初項 a(1) = 4/3 、公比2 より、a(n) = 2^n+1/3 ここで、分からないところがあります。a(1) = 4/3 とありますが、どうやって求めたんでしょうか? そもそも、a(1)があること自体に疑問があります。f(n)xのnとa(n)のnは同じ数(n)です。 しかし、このf(n)xは成り立つのは (n=2,3,4,・・・)とかいてあります。 つまり、a(2)からしかない？と思ってしまいました。 b(n)にしても、初項の求め方が分かりません。 このあたりのことを教えてください。
- keroro429
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f1(x) って問題に書いてありませんか?
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回答ありがとうございました。
補足
f1(x)=4x^2+1 とあります。 そして、定数をa(n)、b(n)とおいた fn(x)=3a(n)x^2 + 3b(n) もあります。 n=1を入れて等号で結べるのかが分かりません。 fn(x)の式はn=2,3,4,・・・だから、n=1を入れてはいけないと思ったんです。