積分の問題

質問

[0,1]上の皮膚連続関数f(x)に対して、[0,1]上の関数列{Fn(x)}n≧0を以下により定める。
F0(x)=f(x), Fn(x)=∫0 x Fn-1(t)dt (n≧1)

この時次の問いに答えなさい。

(1) f(x)=xとおいたとき、Fn(x)を具体的に求めなさい。
(2) n≧1の時、Fn(x)は単調非減少な微分可能関数であることと、不等式 Fn+1(1/2)≦ Fn+1(1)/2が成り立つことをそれそれ示しなさい。
(3)n≧1の時、各x∈[0,1]に対して不等式Fn+1(x)≦ Fn(x)xが成り立つことを示しなさい。
(4)n≧2の時、Fn+1(1)≦ 3Fn(1)/4を示しなさい。（ヒント：積分区間を[0,1/2]と[1/2,1]に分けて評価する）
(5){Fn(x)}は[0,1]で0に一様収束することを示しなさい。

これらの問題です。
(1)は帰納的に求めていきたいです。
教えていただけませんか？お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ちょっとは自分で考えたらどうなんだろうか?
もし「考えた」というならその「考えたあと」くらい書けるはず.

(1) まあその通りやってください. 推測できるかどうかだけの勝負.
(2) 前半は自明. 後半は... 積分を実行すればこれも自明かな.
(3) 積分しろ. 終わり.
(4) ヒントを使うんだろう.
(5) 多分 (4) の結果からすぐ, かな.