広義積分の収束・発散

質問

こんばんは。私は現在大学で微分積分を学んでいるものです。
広義積分の収束・発散を求めろという問題があるのですが、
関数f(x)が区間(a,b]で連続であり、|f(x)|≦g(x)、g(x)の(a,b)の積分が存在するとき、f(x)の広義積分が存在するとあるのですが、実際に問題を解くときは、どうやってg(x)を見つけるかわかりません。
ぜひ教えてください。

回答No.2

yoikagari

絶対とはいえませんが、不等式に関する知識があればある程度g(x)の候補を出すことができるような気がします。

たとえば
∫[1,∞](1/x)log(1+1/x)dxと言う積分を考えても
不等式x≧log(1+x)を知っていれば
∫[1,∞](1/x)log(1+1/x)dx≦∫[1,∞](1/x)^2dx=∫[1,∞]1/x^2dx
という風にはさむことができます。
(x＞1であれば、(1/x)log(1+1/x)＞0であることはいいですよね)

また
∫[1,∞]logx/(1+x^2)dxも
不等式、logx≦√x,1/(1+x^2)≦1/x^2を用いて
∫[1,∞]logx/(1+x^2)dx≦∫[1,∞]√x/x^2dx=∫[1,∞]1/x^(3/2)dx
(x＞1であれば、logx/(1+x^2)＞0であることはいいですよね)

こんな風にして、広義積分∫[1,∞]logx/(1+x^2)dxや∫[1,∞]logx/(1+x^2)dxの収束はいえるとおもいます。

回答No.1

gatch_ky

これは計算で求めるものではありあせん。
例が教科書に載ってると思うので真似よう。
数パターンしかないはず。