次の広義積分の収束

質問

以下の広義積分が

α>-1ならば収束し、α≦-1ならば発散することを示すにはどうすればいいですか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

(0,1]と[1,∞]に分ける。

α≦-1の時は、t∈[0,1)の時 t^α exp(-λt^2) ≧ (1/t) exp(-λ)だから、
∫(0,1] t^α exp(-λt^2) dt ≧ exp(-λ) ∫(0,1] (1/t) dtは発散する。

α>-1の時、先ずx∈[0,1)の時は t^α exp(-λt^2) ≦ t^α だから、
∫(0,1] t^α exp(-λt^2) dt ≦ ∫(0,1] t^α dt = 1/(1+α) となり、こちら側は収束する。

t∈[1,∞)の時は g(t) = t-log(t)とおくと、g(1) = 1>0, g'(t) = 1 - 1/t > 0だから g(t)>0 、つまりlog(t) < tであることに注意する。 max { 0, α } = βとおくと、
t^α exp(-λt^2) = exp(-λt^2 + α log(t)) ≦ exp(-λt^2 + β log(t))
≦ exp(-λt^2 + β t) = exp( -λ (t-β/(2λ) )^2 + β^2 / (4λ)) である故、
exp(β^2 / (4λ)) = K, β/(2λ) = Lとおくと、

∫[1,∞) t^α exp(-λt^2) dt ≦ K ∫[1,∞) exp( -λ (t-L )^2 ) dt =
K ∫[1,L] exp( -λ (t-L )^2 ) dt + K ∫[L, ∞) exp( -λ (t-L )^2 ) dt
上の第一項は定数なので適当にAと書いておくと、
∫[1,∞) t^α exp(-λt^2) dt ≦ A + K ∫[0,∞) exp(-λ t^2) dt
≦ A + K ∫[0,∞) exp(-λ t) dt = A + K/λ

となって、こちら側も収束する。

お礼

回答ありがとうございます！

補足

すみませんが…この収束がλに関して一様収束であることも示せるでしょうか？

回答No.3

tmpname

やはり意味不明です。

> 広義積分を実行してfα(λ)の極限を取ったら

まず、fα(λ)というのは、 fα(λ) = lim[a→+0][b→+∞] ∫ [a≦t≦b] t^α exp(-λt^2) dt で与えられるのはいいですか？極限操作は、あくまで積分区間に対する操作。これが『広義積分を実行』した結果。
で、そこから 『fα(λ)の極限を取ったら』というのは何を指しているのですか？ g(α) = lim[λ→∞] fα(λ) みたいなのを考えるのですか？ それとも h(λ) = lim[α→α0
] fα(λ)みたいなのを考えるのですか？

お礼

拙い説明ですみませんが……

>で、そこから 『fα(λ)の極限を取ったら』というのは何を指しているのですか？

広義積分の実行そのものを指してました。

要するに、fα(a, b, λ) = ∫ [a≦t≦b] t^α exp(-λt^2) dt が [a→+0][b→+∞]という極限をとったときλに関して一様にfα(λ) = lim[a→+0][b→+∞] ∫ [a≦t≦b] t^α exp(-λt^2) dtに収束するかどうかを問うてました。

回答No.2

tmpname

「この収束がλに関して一様収束」というのが意味不明ですので、補足にどういうことを示してほしいのか下さい。

お礼

fα(λ)をλに関する関数と見て、広義積分を実行してfα(λ)の極限を取ったらfα(λ)がとある関数にλ>0の範囲で一様収束するか、ということです。正確には広義一様収束するかどうかですね。