- 締切済み
広義積分可能についてです。
f(x)は(a，b)で連続とします。 このとき(a，b)で広義積分可能かということを考えるときは a＜c＜bとなるすべてのcに対して lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxと lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx を考えますよね。 lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxを考えるとき [a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界 よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する よって lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx ≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx =lim(→0)M(a+ε-c) =M(a-c) となるため lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx は存在する lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx についても同様に考えられるため広義積分可能 この解釈は合ってるでしょうか？ 誤っている場合は解説をよろしくお願い致します。 初歩的なことで申し訳ありません…
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数0
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
みんなの回答
＞#1，#2さんの応答より 一般にＭはεに依存します。εに依存しないＭの存在を言うためには、連続よりも強い、一様連続の性質が必要です。一様連続性の定義は、εに依存しないＭが存在する事と、ほぼ同等です。大抵の変分問題では、fやgは、たいてい積分区間上で一様連続と仮定しても問題ないです。区間の端で発散しないような、ふつうの関数で考えます。 ＞#4さんの応答より 「もし、∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してその値が0ならばf(x)=0」ですから、勝手なfやgを持ってきて、∫(a～b)f(x)g(x)dxが可積だとは言っていません。「可積になるような、fやgであれば」です。 それで補題ですが、 ・ｆが連続，ｇを「任意の連続関数」とする。このとき、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝0 ⇔ f＝0． で十分でないでしょうか？。70年くらい前にはこれを、変分学の基本定理と呼んでいたようですが、非負の連続関数は可積なら、必ず0以上の面積を持つ事さえ認めてしまえば、余りに簡単に証明できるので、今は基本定理と言わないようです。というか、ほとんど無視されてますよね？。 ［証明］ gが任意だから、f＝gの場合がある。このとき、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝∫(a～b)(f(x))^2dx＝0となり、(f(x))^2≧0なので、f＝0が必要。逆にf＝0なら、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝0は明らか． 結論がf＝0でなければ、fとgに対する仮定は不十分ですが、f＝0なら明らかに成立するので、連続の仮定だけで、いちおうOKになります。もちろん非負の連続関数は、必ず0以上の面積を持つ事を認めないと面倒になりますが、ふつうはこの程度で良いと思うのですが・・・。
- ramayana
- ベストアンサー率75% (215/285)
いろいろ誤解があるので、どこから手を付けていいものか …。 [1] ANo.2さんへの補足 「f(x)は(a,b)上連続 g(x)は(a,b)上C∞級かつg(a)=g(b)=0 このとき ∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ならばf(x)=0」 は、字義通り読めば、結論部分は、「もし、∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してその値が0ならばf(x)=0」と解釈すべきものです。∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在することを何ら主張していません。 [2] さらに、上の命題自体が間違いです。反例は、少し考えればすぐ見つかるはずです。 [3] また、ANo.1さんの指摘の通り、Mはεに依存するので、ご質問の中の 「lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx ≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx =lim(→0)M(a+ε-c) =M(a-c) となるため lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx は存在する」 の部分の論法は通用しません。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
それは分からなくて当然. そんなこと言ってないんだもん. つまり, あなたが誤解しているだけ.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
例えば f(x) = 1/x, a = 0, b = 2 だとどうなりますか?
補足
確かにこの広義積分は存在しないですよね・・・。 何故このようなことを考えているか説明させていただいてよろしいでしょうか。 次の変分法の基本補題について考えています。 f(x)は(a,b)上連続 g(x)は(a,b)上C∞級かつg(a)=g(b)=0 このとき ∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ならばf(x)=0 この補題が正しいことは 有名な先生方の本に多数記載されていることから認めます。 ∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ということは ∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してしかもその値が０ならば、ということですよね。 しかし私には何故上記のf(x),g(x)の仮定のみで ∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在するということが言えるのか分からないのです。 よろしければ解説していただけないでしょうか。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
とりあえず 「[a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界 よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する」 の M は ε に依存する可能性がありますね.
補足
εは任意なのでMはεによりませんよね？
関連するQ&A
- 広義積分の収束と発散の問題
∫[0,π](1/√(sin x))dx この広義積分の収束と発散を判定せよという問題なのですが解放を教えてください。 現在講義で習ったのが f(x):[a,b)で連続 ョμ≧1 lim(x→b-0) (b-x)^μ*f(x)が収束 ならば ∫[a,b]f(x)dxは発散 という内容なのでこれをうまく利用するみたいですが、まったく解法が浮かびません… どうかお助け願います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分 問題
広義積分 問題 広義積分の問題について、 ∫[0→1]1/（√1-x)について、 x=1で定義されないので、lim[c→1-0]∫[0→c]1/（√1-x)dx 1-x=tとおくと、 lim[c→1-0]∫[1→1-c]-1/（√t)dt=2 としているのですが、極限値はlim[c→1]では不正解なのでしょうか？ なぜ、lim[c→1-0]としているのかわかりません・・・ また、∫[0→1]（1/x）dx についても、x=0で定義されないので、 lim[c→+0]∫[c→1]（1/x）dx=+∞ これは、真数条件（logxにおいて、x<0）を満たすために +0となっていると思います。 この認識でよいでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分についてよくわからないので質問させていただきます 1.∫logx dx[0,1]のとき、0をcとおいて lim(c→+0)∫logx dx[c,1]を計算して、F(c)=c-clogc-1とおきグラフを描いてみると lim(c→+0)F(c)=－∞となるのですが、これは数学的にあっていますか？ 2.同様にして ∫1/x^2 dx[0.1]と∫1/x^2 dx[1.∞]をそれぞれ計算すると前者は∞になり後者は1になります。 しかし図で考えると面積で言えば前者は後者よりも面積1（0≦x≦1,0≦y≦1の範囲）だけ多いと考えられるので、もし後者の面積が1になるのなら前者は2になるはずですが実際は∞になります。 どうしてでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義重積分の計算
広義重積分の計算 領域D = {(x,y)|0≦x≦y≦1}における関数、f(x,y) = x / ((x^2 + y^2)^1/2) の広義の重積分Vを求めよ。 という問題です。 原点で不連続になることが分かります。 解答には、lim{c→+0} ∫{c→1} ∫{0→y} f(x,y) dx dy と載っていました。 自分は先にyで積分した方法で解こうとしたのですが、以下で正しいでしょうか？ lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx xとyの両方が0の時に不連続になるので、x方向とy方向の両方を0に近づけたlimitを取らなければならないのではないかという疑問もあります。 そこのところがよく分かりませんので、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の収束・発散
こんばんは。私は現在大学で微分積分を学んでいるものです。 広義積分の収束・発散を求めろという問題があるのですが、 関数f(x)が区間(a,b]で連続であり、|f(x)|≦g(x)、g(x)の(a,b)の積分が存在するとき、f(x)の広義積分が存在するとあるのですが、実際に問題を解くときは、どうやってg(x)を見つけるかわかりません。 ぜひ教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分可能の証明
[問]ｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で定義された有界な関数とする ｆ(ｘ)が[ａ,ｂ]の１点ｃだけで不連続であるならば、ｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で積分可能であることを証明せよ。 また、ｆ(ｘ)が[ａ,ｂ]の有限個の点だけで不連続であるならば、ｆ(ｘ)は[ａ,ｂ]で積分可能であることを証明せよ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (proof) ａ＜ｃ＜ｂとして、lim_x→c-0 ｆ(ｘ)≠ｆ(ｃ)のとき、ｆ(ｘ)は[ａ,ｃ]で積分可能であることを示す。 任意のε＞０を決めて、[ａ,ｃ]をＩ＝[ａ,ｃ－ε] , Ｊ＝[ｃ－ε,ｃ]とに分けて考える。 ｆ(ｘ)はＩでは連続であるから、Ｉで積分可能。 また、Ｊでは、 Σ_J Ｏ_iδ_i ≦ Σ_J(Ｍ－ｍ)δ_i ＝(Ｍ－ｍ)Σ_J δ_i ＝(Ｍ－ｍ)ε ｛Ｍ,ｍ は[ａ,ｃ]におけるｆ(ｘ)の上限、下限｝ であるから、ｆ(ｘ)はＪでも積分可能、したがって、Ｉ∪Ｊ＝[ａ,ｃ]でも積分可能。 同様に、lim_x→c+0 ｆ(ｘ)≠ｆ(ｃ)のとき、ｆ(ｘ)は[ｃ,ｂ]で積分可能であることを示す。 ↑とりあえず、問題の前半部分はこのように解いたのですが、合っているでしょうか？ また、後半部分がわかりません。どのように解けばいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分の計算って？
計算がよく分からなかったので質問させていただきました。 f(x) = 1 / (x^(2/3)*(1+x^(1/3))) について (1)不定積分を計算しなさい ∫f(x)dx (2)広義積分を存在するならば計算しなさい ∫f(x)dx .....0≦x≦1 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分の問題を教えて下さい
次の問題の答えを教えて下さい。 １．次の広義積分を求めよ。ただし、r,kは正の定数とする。 (a)∫(rから∞)dx/x^2 (b)∫(0からr)dx/√r-x (c)∫(-∞から0)e^(kx)dx (d)∫(0から1)dx/x^2の三乗根 (e)∫(1から∞)dx/x(1+x) (f)∫(0から1)√(x/1-x)dx ２．次の広義積分を求めよ。 (a)∫(-1から1)dx/x (b)∫(-1から1)dx/x^2 (c)∫(-∞から∞)dx/x^2+1 ３．広義積分I=∫(0からπ/2)log(sinx)dxの値を、次のようにして求めよ。 (a) I=∫(π/2からπ)log(sinx)dx=∫(0からπ/2)log(cosx)dxが成り立つことを示せ。 (b)x=2tとおいて2I=∫(0からπ)log(sinx)dxの値を計算することによって、I=-(π/2)log2であることを示せ。 ４．s＞0として、ガンマ巻数Γ(s)=∫(0から∞)e^(-x)x^(s-1)dxについて式Γ(s+1)=sΓ(s)が成り立つことを示せ。 ５．p＞0,q＞0として、ベータ関数Β(p,q)=∫(0から1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dxについて式Β(p,q)が成り立つことを示せ。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
何を誤解しているのでしょうか？ ∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ということは f(x)g(x)は開区間(a,b）で積分可能ということですよね？