広義積分可能についてです。

質問

f(x)は(a，b)で連続とします。
このとき(a，b)で広義積分可能かということを考えるときは
a＜c＜bとなるすべてのcに対して
lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxと
lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx
を考えますよね。

lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxを考えるとき
[a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界
よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する

よって
lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx
≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx
=lim(→0)M(a+ε-c)
=M(a-c)

となるため
lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx
は存在する
lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx
についても同様に考えられるため広義積分可能

この解釈は合ってるでしょうか？
誤っている場合は解説をよろしくお願い致します。
初歩的なことで申し訳ありません…

回答No.5

noname#221368

＞#1，#2さんの応答より

　一般にＭはεに依存します。εに依存しないＭの存在を言うためには、連続よりも強い、一様連続の性質が必要です。一様連続性の定義は、εに依存しないＭが存在する事と、ほぼ同等です。大抵の変分問題では、fやgは、たいてい積分区間上で一様連続と仮定しても問題ないです。区間の端で発散しないような、ふつうの関数で考えます。

＞#4さんの応答より

　「もし、∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してその値が0ならばf(x)=0」ですから、勝手なfやgを持ってきて、∫(a～b)f(x)g(x)dxが可積だとは言っていません。「可積になるような、fやgであれば」です。

　それで補題ですが、

　　・ｆが連続，ｇを「任意の連続関数」とする。このとき、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝0　⇔　f＝0．

で十分でないでしょうか？。70年くらい前にはこれを、変分学の基本定理と呼んでいたようですが、非負の連続関数は可積なら、必ず0以上の面積を持つ事さえ認めてしまえば、余りに簡単に証明できるので、今は基本定理と言わないようです。というか、ほとんど無視されてますよね？。

［証明］
　gが任意だから、f＝gの場合がある。このとき、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝∫(a～b)(f(x))^2dx＝0となり、(f(x))^2≧0なので、f＝0が必要。逆にf＝0なら、∫(a～b)f(x)g(x)dx＝0は明らか．

　結論がf＝0でなければ、fとgに対する仮定は不十分ですが、f＝0なら明らかに成立するので、連続の仮定だけで、いちおうOKになります。もちろん非負の連続関数は、必ず0以上の面積を持つ事を認めないと面倒になりますが、ふつうはこの程度で良いと思うのですが・・・。

回答No.4

ramayana

いろいろ誤解があるので、どこから手を付けていいものか …。

[1]　ANo.2さんへの補足

「f(x)は(a,b)上連続
g(x)は(a,b)上C∞級かつg(a)=g(b)=0
このとき
∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ならばf(x)=0」

は、字義通り読めば、結論部分は、「もし、∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してその値が0ならばf(x)=0」と解釈すべきものです。∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在することを何ら主張していません。

[2]　さらに、上の命題自体が間違いです。反例は、少し考えればすぐ見つかるはずです。

[3]　また、ANo.1さんの指摘の通り、Mはεに依存するので、ご質問の中の

「lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx
≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx
=lim(→0)M(a+ε-c)
=M(a-c)

となるため
lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx
は存在する」

の部分の論法は通用しません。

回答No.3

Tacosan

それは分からなくて当然.

そんなこと言ってないんだもん.

つまり, あなたが誤解しているだけ.

補足

何を誤解しているのでしょうか？
∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ということは
f(x)g(x)は開区間(a,b）で積分可能ということですよね？

回答No.2

Tacosan

例えば
f(x) = 1/x, a = 0, b = 2
だとどうなりますか?

補足

確かにこの広義積分は存在しないですよね・・・。

何故このようなことを考えているか説明させていただいてよろしいでしょうか。
次の変分法の基本補題について考えています。

f(x)は(a,b)上連続
g(x)は(a,b)上C∞級かつg(a)=g(b)=0
このとき
∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ならばf(x)=0

この補題が正しいことは
有名な先生方の本に多数記載されていることから認めます。

∫(a～b)f(x)g(x)dx=０ということは
∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在してしかもその値が０ならば、ということですよね。
しかし私には何故上記のf(x),g(x)の仮定のみで
∫(a～b)f(x)g(x)dxが存在するということが言えるのか分からないのです。

よろしければ解説していただけないでしょうか。

回答No.1

Tacosan

とりあえず
「[a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界
よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する」
の M は ε に依存する可能性がありますね.

補足

εは任意なのでMはεによりませんよね？