広義積分

質問

広義積分についてよくわからないので質問させていただきます
1.∫logx dx[0,1]のとき、0をcとおいて
lim(c→+0)∫logx dx[c,1]を計算して、F(c)=c-clogc-1とおきグラフを描いてみると
lim(c→+0)F(c)=－∞となるのですが、これは数学的にあっていますか？

2.同様にして
∫1/x^2 dx[0.1]と∫1/x^2 dx[1.∞]をそれぞれ計算すると前者は∞になり後者は1になります。
しかし図で考えると面積で言えば前者は後者よりも面積1（0≦x≦1,0≦y≦1の範囲）だけ多いと考えられるので、もし後者の面積が1になるのなら前者は2になるはずですが実際は∞になります。
どうしてでしょうか？

回答No.1

info22

1
>lim(c→+0)F(c)=－∞となるのですが、これは数学的にあっていますか？
数学的に間違いです。
正しくは
∫[c,1]logx dx=F(c)=-1-clog(c)+c→-1(c→+0)
です。
clogc　はロピタルの定理を使えばゼロに収束します。

2
>もし後者の面積が1になるのなら前者は2になるはずですが実際は∞になります。
2にはなりませんよ。
y≧1の部分と,x≧1の部分が同じ形状（y=xに対称）と（間違った先入観があって）勘違い（思い違い）していませんか？
同じ形状でないことはx=1/2の時y=4に対し、y=1/2の時x=√2となって
4になりませんね。このことから明らかです。

お礼

わかりやすく教えてくれてありがとうございました。
2についてはおっしゃるとおり勘違いしてました