広義積分の定義に関する問題です。

質問

大学で出された練習問題なのですが、わからずに困っています。

(1)広義積分の定義に従って∫1/x dx = ∞ であることを示せ。
　（積分範囲は1から∞）
(2) ∫1/x dx = ∞ であることを用いて Σ1/n = ∞ を示せ。
　（Σの添え字は∞,ｎ=1）
(3) Σ1/n = ∞ であることを用いて ∫1/x dx = ∞ を示せ。

(1)はlimをとればよいのだろうと検討はつくのですが、(2),(3)はどのように解けば良いのか手がかりすらわかりません。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.2

jaspachate · ベストアンサー

(1)
lim[t→∞]∫[1～t]1/x dx = lim[t→∞]logt → ∞

(2)、(3)は進んだ高校では学びます。要するに階段関数で表して近似すればいいのです。

(2)
∫[1～∞]1/x dx < Σ[1～∞]1/n
となるように積分を階段関数の和で表します。
階段関数を[n≦x＜n+1]区間で 1/n となるように選べば、
∫[n～n+1]1/x dx < ∫[n～n+1] 1/n dx = 1/n
n=1～∞の和を取れば
Σ[n=1～∞]∫[n～n+1]1/x dx = ∫[1～∞]1/x dx → ∞ < Σ1/n
なので、題意が示せました。

(3)
今度は逆に、
Σ[1～∞]1/n < ∫[1～∞]1/x dx
となるように、積分区間[n≦x<n+1]で 1/(n+1) に選びます。
∫[n～n+1] 1/(n+1) dx = 1/(n+1) < ∫[n～n+1] 1/x dx
ここで、
Σ[1～∞] 1/(n+1) = -1 + Σ[1～∞] 1/n → ∞ < ∫[1～∞]1/x dx
なので、題意が示せました。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

階段関数というのはどういったものを指すのでしょうか。
耳馴染みしない言葉だったので困っております。
また、それに伴って
>階段関数を[n≦x＜n+1]区間で 1/n となるように選べば、
∫[n～n+1]1/x dx < ∫[n～n+1] 1/n dx = 1/n
の下りがいまいち理解できません。

補足説明など頂ければありがたいです。

回答No.3

jaspachate

>階段関数を[n≦x＜n+1]区間で 1/n となるように選べば、
>∫[n～n+1]1/x dx < ∫[n～n+1] 1/n dx = 1/n
>の下りがいまいち理解できません。

階段関数というのは、棒グラフの縦線を消したように見えるものです。つまり、xの特定の値でyの値がジャンプします。その点で不連続なわけですね。またジャンプする点以外ではy=一定となります。

[n≦x＜n+1]区間で 1/n となるように選ぶ、
というのは、
n=1 ; x=1～2 で y=1
n=2 ; x=2～3 で y=1/2
....
n=n ; x=n～n+1 で y=1/n
という階段関数y(x)を考えて、関数 f(x)=1/x と比較すると、
区間 x = n～n+1 で、階段関数値=一定=1/n、関数f(x)=1/n～1/(n+1) なので、必ず f(x)≦1/n になります。これは図を書くと良くわかりますね。
従って、図を見れば明らかなのですが、数式に表せば、x = n～n+1 で積分しても、f(x)の積分(面積) < 階段関数の積分(面積)= (1/n)×1 ですから、
∫[n～n+1]1/x dx < ∫[n～n+1] 1/n dx = 1/n∫[n～n+1]dx = 1/n
となるわけです。
これをn=1から足していけば、
Σ∫[n～n+1]1/x dx = ∫[1～]1/x < Σ1/n
となるのは明らかです。
まず、図を描いてみてください。階段関数を1/n+1に選んだときはf(x)=1/xより必ず下側になるので、同様な比較で答えが出ます。

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。
図に描いてみると確かにわかりやすかったです。
本日テストだったのですが、おかげ様で乗り切ることができました。

回答No.1

rabbit_cat

(2)についてだけ。(3)は同様に考えればできるでしょう。
広義積分の定義から
∫1/x dx = ∞ というのは、
つまり、lim [t→∞] ∫[1→t] 1/x dx = ∞
ということです。
limの定義に立ち戻れば、lim [t→∞] ∫[1→t] 1/x dx = ∞てことは、変数のtを実数から自然数nに制限した場合も
lim [n→∞] ∫[1→n] 1/x dx = ∞
となります。
で、∫[1→n] 1/x dx と、1/n の大小をリーマン積分の定義に戻って考えれば、 Σ1/n = ∞ が言えるでしょう。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
参考にして解いてみようと思います。