数学の微分積分の問題がわかりません。

質問

数学の微分積分の問題がわかりません。

次の等式を満たす整数f(x)を求めよ。

f(x)=x^3-x•∫[0→1]f(t)dt+5•∫[1→x]f'(t)dt

わかりません。。

おねがいします！

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

＞整数f(x)を求めよ

整式　f(x)の間違いだろう。“整式”がヒントになっている。

f(x)の最大次数をmとする。(m≧1)　∫[0→1]f(t)dtは定数だから　∫[0→1]f(t)dt＝α　とすると　∫[1→x]f'(t)dt　の次数は　m。
よって、条件式は　x＾m＝x＾3ーαx-5x＾m　→　6x＾m＝x＾3ーαx　左辺の最大次数は　m　で右辺の最大次数は　3。よって　m＝3
そこで、f(x)＝ax＾3＋bx＾2＋cx＋d　　(a≠0)として、これを条件式にぶち込むと、これが任意のxについて成立するから、xの恒等式と見る。
従って、全ての係数＝0　としてやると、a、b、c、dの値が求まる。その計算は自分でやって。

但し、それは必要条件だから、定まったf(x)を条件式に代入して、全てのxについて成立する事の十分条件の確認が必要。