積分です。わからなくて困っています。どなたか教えていtだkないでしょう

質問

積分です。わからなくて困っています。どなたか教えていtだkないでしょうか。お願いします。

０＜ｃ＜１とする。３次関数f（x）＝―４X3　＋　３X2　に対して、

（マイナス４エックス３乗）＋(３エックス２乗)

ｆ1(x)＝ｆ(x）＋∫（下が０上がｃ）ｆ(t)dt, f2(x) ＝ｆ(X)+∫（下が０上がｃ）f1(t)dt とおく。

以下、関数ｆ3（X）,f4（Ｘ），・・・を順次fn（X）＝ｆ(X)+∫（下が０上がｃ）ｆ(t)dt, f2(x) ＝ｆ(X)+∫（下が０上がｃ）f1(t)dt とおく。

以下、関数ｆ3（X）,f4（Ｘ），・・・を順次fn（X）＝ｆ(X)+∫（下が０上がｃ）ｆn-1 (t)dt (n=3,4,・・・)により定める。

(1) 関数ｆn(X)を求めよ。

(2) ｆn(X)について、０＜X＜１のとき、ｆn(X)=０　をみたすXがただひとつ存在することを示せ。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

(1)
f(x)の原始関数F(x)=-x^4+x^3。
題意より
f1(x)=f(x)+F(c)-F(0)
=f(x)+F(c)=f(x)+(c^3-c^4)
f2(x)=f(x)+F(c)-F(0)+F(c)(c-0)
=f(x)+F(c)(1+c)=f(x)+(c^3-c^5)
f3(x)=f(x)+F(c)-F(0)+F(c)(1+c)(c-0)
=f(x)+F(c)(1+c+c^2)=f(x)+(c^3-c^6)
・・・
fn(x)=f(x)+(c^3-c^(3+n)) と推測される。
これを数学的帰納法で証明すればよい。

(2)
0<c<1のとき、
c^3-c^(3+n)=c^3(1-c^n)なので、0<c^3-c^(3+n)<1。

また
f(x)=-4x^3+3x^2=-x^2(4x-3)
fn'(x)=f'(x)=-12x^2+6x=6x(1-2x)
f(1/2)=1/4
f(1)=-1
から、
fn(x)はx=0で極小値c^3(1-c^n)、
x=1/2で極大値1/4+c^3(1-c^n)

以上から、
fn(1/2)>1/4
-1<fn(1)<0　であるので、３次関数f(x)の形状（※）から、
ｆn(x)について、0<x<1のとき、ｆn(x)=0をみたすxはただ１つ存在。

（※）手書き画像参照ください。

お礼

ありがとうございます。
わかりました！！