数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉

質問

数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉しいです。

問題
２次関数f(x)およびg(x)が
x
∫ {2f(t)＋g(t)}dt=x二乗-4x＋3,f'(x)-g'(x)=-3,f(1)=1
1
の条件を満たすとき、f(x),g(x)を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。
べき乗の書き方を覚えて下さい。
xの2乗 → x^2
xの3乗 → x^3

積分の上下限の書き方
∫[1,x] f(t)dt　または　∫[1→x] f(t)dt　

問題を書き間違えないように
>∫[1,x] {2f(t)＋g(t)}dt=x^3-4x＋3

f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)…(1)とおくと
f'(x)=2ax+b…(2)
f(1)=a+b+c=1…(3)
g'(x)=f'(x)+3=2ax+b+3…(4)

∫[1,x] {2f(t)+g(t)}dt=x^3-4x+3
両辺を微分
2f(x)+g(x)=3x^2-4…(5)
更に微分して
2f'(x)+g'(x)=6x
(2),(4)を代入
3(2ax+b)+3=6x
6(a-1)x+3(b+1)=0
xの恒等式なので
a-1=0, b+1=0
a=1, b=-1 …(6)
(3)に代入
c=1…(7)
(6),(7)を(1)に代入
∴f(x)=x^2-x+1

(5)に代入
2x^2-2x+2+g(x)=3x^2-4
∴g(x)=x^2+2x-6

お礼

ありがとうございます！！
表記の仕方覚えます！

回答No.4

alice_44

F(x) = 2f(x) + g(x),
G(x) = f(x) - g(x)
と、置いちゃいましょうかね。

逆に解いて、
f(x) = { F(x) + G(x) } /3,　　…[2]
g(x) = { F(x) - 2G(x) } / 3　　…[1]
です。

∫[t=1…x] F(t) dt = x^3-4x+3
より、
F(t) = (d/dx)(x^3-4x+3) = 3x^2-4　　…[3]、

G'(x) = -3
より、
G(x) = -3x + C　(C は定数)　　…[4]
と置けますから、

[3][4] を [1][2] へ代入して、
f(x) = (3x^2 -4 -3x + C) / 3,
g(x) = (3x^2 -4 +6x -2C) /3
となります。

f(1) = 1　から　C = 7　を求めて、
式を整頓すれば、完了です。

お礼

ありがとうございます！！
助かりました！

回答No.2

info22_

#1さんの言われる通り問題が間違っています。

このままでは問題が解けません。
問題をチェックして、補足に問題の修正を書いてください。

回答No.1

goldenleaf

2次関数って分かってるのなら、
f(x) = ax^2 + bx + c
とおいて計算を進めればいいんじゃないですかね？

でも、問題文自体がおかしいですね。
1番目の条件式の右辺は3次の式にならないといけないのだけれど。2次の式を積分しているのだから。

どこか写し間違えてませんか?

補足

すみません、写し間違えていました。

正しくは↓

x
∫ {2f(t)＋g(t)}dt=x三乗-4x＋3 , f'(x)-g'(x)=-3 , f(1)=1
1

です。