(exp(-t)-exp(-2t))/tの積分

質問

初めて質問します。

ある問題を解いていて、

　∫(exp(-t)-exp(-2t))/t dt　（０から＋無限大まで積分）

が解けなくて困っています。

被積分関数はｔを＋０に近づけると、ロピタルの定理を使って1に収束するので、[０，１]で局所可積分、[1，∞]でも上から定数で抑えられるので、可積分だと思うのですが・・・。

ガンマ関数Γ（ｘ）を使って、Γ（0）－Γ（－１）、かとも思いましたが、Γ関数はｘ＞０で定義されているのでした。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

既に回答がついていたので、まぁ参考程度にして貰えれば・・・、
姑息だが既知の積分を使って計算してみると・・・、

∫[0→∞){(exp(-t)-exp(-2t))/t}dt
= ∫[0→1]{(exp(-t)-exp(-2t))/t}dt + ∫[1→∞){(exp(-t)-exp(-2t))/t}dt
= ∫[0→1]{(－(1－(exp(-t))＋(1-exp(-2t)))}/t}dt
= ∫[0→1](1-exp(-2t)))/t}dt－∫[0→1]{(1－exp(-t))/t}dt
＋∫[1→∞){exp(-t)/t}dt－∫[1→∞){exp(-2t)/t}dt
=－Ei(－2)＋γ＋log(2)－(γ－Ei(－1))－Ei(－1) + Ei(－2)　
　(γはオイラー常数、Ei(x)は指数積分)
= log(2)
= 0.69314718055994530941723212145818・・・

お礼

ありがとうございました！

今日、近くの図書館に調べに行くと東大出版「解析演習」の中の”パラメタを含む積分”の中にもありました。

ですが、いただいた解答のほうがすっきりしていて感心しました。

回答No.1

Knotopolog

積分：

∫(exp(-t)-exp(-2t))/t dt　（０から＋無限大まで積分）

は，

∫(exp(-t)/t) dt － ∫(exp(-2t)/t) dt

のことであり，∫(exp(-t)/t)dt と ∫(exp(-2t)/t)dt が，ガンマ関数ですから，
手計算ができないため，Web 上のフリー数式処理ソフト WolframAlpha を用いて計算してみました．

--------------------------------
Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/
--------------------------------

の画面上で，

int((exp(-t) -exp(-2t))/t) dt

と入力して，〓 を押すと，次の結果が得られます．

----------------------
integral (exp(-t)-exp(-2 t))/t dt = Ei(-t)-Ei(-2 t)+constant
Mathematica plaintext input:
Integrate[(Exp[-t] - Exp[-2 t])/t, t]
Mathematica plaintext output:
-ExpIntegralEi[-2 t] + ExpIntegralEi[-t]
----------------------
および，
----------------------
integral_0^infinity(-e^(-2 t)+e^(-t))/t dt~~0.693147180560...
Mathematica plaintext input:
NIntegrate[(-E^(-2 t) + E^(-t))/t, {t, 0, Infinity}]
Mathematica plaintext output:
0.6931471805599
----------------------

つまり，最終計算結果は，

∫[0,+∞](exp(-t)-exp(-2t))/t dt ＝ 0.6931471805599

です．[0,+∞] は，積分範囲で，0 から，プラス無限，の意味です．

ガンマ関数の積分・数値計算は，昔は，膨大な数表を使って計算しましたが，現在では，コンピュータによる計算が普通です．

試してみて下さい．