積分の問題で

質問

∫f(t)dt=x^2-2x　積分区間aから2x-1

f(x)を求める問題で、前問に∫f(t)dt【区間：aからz】を求めよ、という問題があり、z=2x-1とおくとx=(z＋1)/2が得られる。よって答えはz^2/4-z/2-3/4・・・※がわかりました。
で、次にf(x)を求めるのですが、※をzで微分するとf(z)=z/2-1/2が得られる。よってzをxに置き換えてf(x)=x/2-1/2である、という解答になっていました。

しかし、zとxを置き換えるだけで何故f(x)が出せるのかわかりません。z=2x-1よりf(x)=x-1だと思ったのですが…。

回答No.2

arrysthmia

f(z) = (z-1)/2 までは了解したけれども、
f(x) = (x-1)/2 には納得できない　ということですか？

関数の ( ) の中には、定義域が許す範囲で
何を入れてもよいのです。それを「代入する」と呼びます。
f(y) = (y-1)/2 でも、
f(a) = (a-1)/2 でも、
f(θ) = (θ-1)/2 でも　何でもよい。

z = 2x-1 だから…　というのなら、
f(x) = x-1 ではなく、f(z) = x-1 という話でしょう？

回答No.1

info22

以下のように考えればいいですね。
以下の式の中でz=(2x-1)と考えれば納得いくでしょう。

∫f(t)dt=F(t)+C とおくと
f(t)=F'(t)
∫[a,2x-1] f(t)dt=F(2x-1)-F(a)=x^2-2x
微分して
f(2x-1)*(2x-1)'=2x-2
f(2x-1)*2=(2x-1)-1
f(x)*2=x-1
f(x)=(x-1)/2