電磁気学 線積分

質問

先日、電磁気学の演習で線積分の問題を解きました。
その際に、線積分∫(c)fdsを計算せよというものがありました。
(c)は∫の添え字です。
ちなみにf(x,y,z)=yz+zx+xy C:x =t,y=t^2,z=0(0<=t<=1)という問題でした。

しかし、授業で習った線積分は変数sで積分していませんでした。
つまり、教科書に載っていない形で問題が出されていたんです。いは
結局解答だけは板書されて分かったのですが、どうやらds/dtを計算し、ds=～dtの形に直してから積分してました。
～にはx、y、zをそれぞれ微分して２乗足し合わせて平方根をとった式があてはめられていました。
つまり（1＋4t^2）^(1/2）です。

ここで、疑問なのですがdsとは何を表しているのでしょうか？
また、なぜds/dtが～のような式になるのか理解できません。

電磁気学で線積分を学ばれた方などで分かる方は解答をお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

ds は曲線 C の微小部分（線素）です。
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2
ですから、
ds = {(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2}^(1/2)
　　= {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2}^(1/2) dt
と書くことができます。いまの場合、
x = t
y = t^2
z = 0
ですから、
dx/dt = 1
dy/dt = 2t
dz/dt = 0 。
よって
ds = {1^2 + (2t)^2 + 0^2}^(1/2) dt
　　= (1 + 4t^2)^(1/2) dt
です。

お礼

解答ありがとうございます。
ds(線素ベクトル）をx,y,zの方向に分解して、微分をしていると思われるのですが、このとき、線素ベクトルを微分したds/dtはどういう意味を表しているのでしょうか？
例えばある距離xを時間tで微分したものは速さを表すといったような感じです。
良ければ、解答をお願いします。

回答No.3

noname#185706

＃２へのお礼に対して

その式は三平方の定理から導かれます。直方体の「対角線」の長さを考えてみてください。

お礼

ご解答ありがとうございます。
よく納得できました。
何度も分かりやすい解答、本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#185706

＃１へのお礼に対して

s は曲線 C 上の適当な基準点から計った曲線の長さです。よって、ds/dt はその長さ s の、パラメーター t に対する変化率です。

お礼

なるほど。そうだったんですか。
ご丁寧にありがとうございます。

あとひとつ疑問なのですが、
＞ds は曲線 C の微小部分（線素）です。
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2
というのは、定義として覚えておくしかないのでしょうか？
教科書に載っていないか探したのですが、この式を見つけることができませんでした。
再び回答いただけると本当にありがたいです。