線積分

質問

ベクトル場A=(3x^2+6y) e_x-14yz e_y+20xz^2 e_zについて、点(0,0,0)から点(1,1,1)までの線積分∫[C]A•drを、次に示される経路Cに沿って計算せよ。A,r,e_x,e_y,e_zはベクトルである。
(1)x=t,y=t^2,z=t^3
(2)点(0,0,0)から点(1,1,1)までの直線
(3)点(0,0,0)から点(1,0,0)、ついで点(1,1,0)、ついで点(1,1,1)までの直線

です。途中式もお願いします。

回答No.1

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A=(3x^2+6y) e_x-14yz e_y+20xz^2 e_z
I=∫[C]A•dr=∫[C] {(3x^2+6y)dx-14yzdy+20xz^2 dz)
(1)
x=t,y=t^2,z=t^3
(x,y,z):(0,0,0)→(1,1,1)のとき t:0→1
I=∫[0,1] {(3t^2+6t^2)-(14t^5)*2+(20t^7)*3} dt
=∫[0,1] (9t^2-28t^5+60t^7) dt
=[3t^3-(28/6)t^6+(60/8)t^8] [0,1]
=3-(14/3)+(15/2)
=35/6 …（答）

(2)
点(0,0,0)から点(1,1,1)までの直線
[C]:(x,y,z)=(t,t,t), t:0→1
I=∫[0,1] {(3t^2+6t)-14t^2+20t^3} dt
=∫[0,1] (6t-11t^2+20t^3) dt
=[3t^2-(11/3)t^3+5t^4] [0,1]
=3-(11/3)+5
=13/3 …（答）

(3)
点(0,0,0)から点(1,0,0)、ついで点(1,1,0)、ついで点(1,1,1)までの直線
I=∫[C] {(3x^2+6y)dx-14yzdy+20xz^2 dz)
=∫[0,0,0)→(1,0,0)] (3x^2+6*0)dx
+∫[1,0,0)→(1,1,0)] (-14y*0)dy
+∫[1,1,0)→(1,1,1)] (20*1*z^2)dz
=∫[0,1] 3x^2 dx +∫[0,1] 0 dy +∫[0,1] (20z^2)dz
=[x^3][0,1] +[(20/3)z^3][0,1]
=1+(20/3)
=23/3 …(答)