ベクトル解析、線積分

質問

添付画像の曲線Ｃi上の線積分（ただし、c3,c6はｙ＝ｘ＾２です）を求める。
∫（Ci)V・ｄｒを求めよ。
Ｖ＝（ｘ、ｙ）、ｄｒはともにベクトルとします。
（疑問１）
（１）∫（Ｃ１）Ｖ・ｄｒ＝∫（０→１）ｘｄｘ＋∫（０→１）ｙｄｙ＝１＊
（２）～（３）ともに＊という式になる
（４）∫（Ｃ４）Ｖ・ｄｒ＝∫（０→２）ｘｄｘ＋∫（０→４）ｙｄｙ＝１０☆
（５）～（６）ともに☆という式になる。
∫（Ｃ）Ｖ・ｄｒはベクトル場Ｖに対し、微小な変位を表すベクトルｄｒ＝（ｄｘ、ｄｙ）の内積を経路Ｃ上に渡って計算する。V=(u,v)に対し、Ｖ・ｄｒ＝uｄｘ＋ＶｄＹになるから、それぞれｘとｙの定義域にわたって足しあわせる。と考えて立てた式なのですが、正しいでしょうか?
（疑問２）
（例）ｙ＝２ｘ（０≦ｘ≦１）をＣとする、
∫（Ｃ）（ｘ＋ｙ、ｘｙ）ｄｒ＝∫（０→１）３ｘｄｘ＋∫（０→２）Y＾２/２dyのように、
上の（２）などで、
∫（Ｃ２）（ｘｄｘ＋ｙｄｙ）＝∫（０→１）ｘｄｘ＋∫（０→１）ｘｄｙ＝１/２+ｘ/２とした（後半部分にｙ＝ｘを代入した）ら間違えでした。
どうしてこの式は間違えなのでしょうか？
（例と同じように考えているはずなのですが）

回答No.1

info222_

（疑問１）
（１）
C1=C11+C12
C11:(0,t)(t=0→1), V(0,t), dr(0,dt), V・dr=tdt(t=0→1)
C12:(t,1)(t=0→1), V(t,1),dr(dt,0), V・dr=tdt(t=0→1)
なので式的には
>∫（Ｃ１）Ｖ・ｄｒ＝∫（０→１）ｘｄｘ＋∫（０→１）ｙｄｙ＝１＊
ですが、正確には
I1=∫(C1) V・dr=∫(C11) V・dr+∫(C12) V・dr
∫(C11) V・dr=∫(0→1) tdt=1/2、∫(C12) V・dr=∫(0→1) tdt=1/2
I1=1/2+1/2=1
となります。

>（２）～（３）ともに＊という式になる
式は異なります。
(2)
C2:(t,t)(t=0→1), V(t,t), dr(dt,dt), V・dr=tdt+tdt=2tdt(t=0→1)
I2=∫(C2) V・dr=∫(0→1) 2tdt=[t^2](0→1)=1

(3)
C3:(t,t^2)(t=0→1), V(t,t^2), dr(dt,2tdt), V・dr=tdt+2(t^3)dt(t=0→1)
I3=∫(C3) V・dr=∫(0→1) (t+2t^3)dt=[(1/2)t^2+(1/2)t^4](0→1)=1/2+1/2=1

(4)
C4=C41+C42
C41:(0,t)(t=0→4), V(0,t), dr(0,dt), V・dr=tdt(t=0→4)
C42:(t,4)(t=0→2), V(t,4),dr(dt,0), V・dr=tdt(t=0→2)
>∫(C4)Ｖ・ｄｒ＝∫（０→２）ｘｄｘ＋∫（０→４）ｙｄｙ＝１０☆
正確には
I4=∫(C4) V・dr=∫(C41) V・dr+∫(C42) V・dr
∫(C41) V・dr=∫(0→4) tdt=[t^2/2](0→4)=8
∫(C42) V・dr=∫(0→2) tdt=[t^2/2](0→2)=2
I4=8+2=10

>（５）～（６）ともに☆という式になる。
正確に計算すると
(5)
C5:(t,2t)(t=0→2), V(t,2t), dr(dt,2dt), V・dr=tdt+4tdt=5tdt(t=0→2)
I5=∫(C5) V・dr=∫(0→2) 5tdt=[5t^2/2](0→2)=10

(6)
C6:(t,t^2)(t=0→2), V(t,t^2), dr(dt,2tdt),
V・dr=tdt+2(t^3)dt=(t+2t^3)dt(t=0→2)
I5=∫(C5) V・dr=∫(0→2) (t+2t^3)dt=[t^2/2+t^4/2](0→2)=2+8=10
となります。

＞∫（Ｃ）Ｖ・ｄｒはベクトル場Ｖに対し、微小な変位を表すベクトルｄｒ＝（ｄｘ、ｄｙ）の内積を経路Ｃ上に渡って計算する。V=(u,v)に対し、Ｖ・ｄｒ＝uｄｘ＋ＶｄＹになるから、それぞれｘとｙの定義域にわたって足しあわせる。と考えて立てた式なのですが、正しいでしょうか?

このような書き方は、あいまいで具体的ではありませんので、正しいとも正しくないとも断言できかねます。

（疑問２）
>（例）ｙ＝２ｘ（０≦ｘ≦１）をＣとする、
>∫（Ｃ）（ｘ＋ｙ、ｘｙ）ｄｒ＝∫（０→１）３ｘｄｘ＋∫（０→２）Y＾２/２dyのように、
これは亜違い。
正しくは
r(t,2t) (t=0→1), dr(dt,2dt)
(x+y,xy)=(t+2t,t*2t)=(3t,2t^2)
(x+y,xy)・dr=3tdt+4(t^2)dt=(3t+4t^2)dt
I=∫(C) (x+y, xy)・dr=∫(0→1) (3t+4t^2)dt=[3t^2/2+4t^3/3](0→1)=17/6
となります。

>上の（２）などで、
>∫（Ｃ２）（ｘｄｘ＋ｙｄｙ）＝∫（０→１）ｘｄｘ＋∫（０→１）ｘｄｙ＝１/２+ｘ/２
>とした（後半部分にｙ＝ｘを代入した）ら間違えでした。
>どうしてこの式は間違えなのでしょうか？
>（例と同じように考えているはずなのですが）
V(x,y)とdrのr(x,y)と積分路とdrの関係を正しく理解して、線積分の式が扱われていないことが、間違いの原因でしょう。

正しくは
C2:y=x(0≦x≦1)⇒(t,t) (t=0→1)
(x,y)＝(t,t), r(t,t), dr(dt,dt)
(x,y)・dr=tdt+tdt=2tdt
I2=∫(C2) (x,y)・dr=∫(0→1) 2tdt=[t^2](0→1)=1
となります。