ベクトル場と線積分の問題で困っています。助けてください！
- 一様なベクトル場Ｅ→＝（Eo,0,0)を用いて、異なる経路C1とC2における線積分を求める問題です。
- C1の場合、線積分の計算過程については一つの解釈がありますが、その正当性は疑問です。
- C2の場合、現在の計算は間違っていると思われます。正しい答えを導くための解釈を求めています。
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ベクトル場と線積分
電磁気の問題で大変困っています。 一様なベクトル場、Ｅ→＝（Eo,0,0)があり、次の二つの異なる経路C1とC2について、点Ａ（a,0,0)から点Ｂ（0,a,0)まで線積分せよ。 C1:Ｘ＋Ｙ＝a、Z=0 C2:X^2+Y^2=a^2,Z=0(X,Y≧0） という問題です。 C1の場合、自分は、 ∫_c1E→・(dx,dy,dz)=∫_c1（Eo,0,0)・(dx,dy,dz)=∫Eodx(xはa→0) =[Eox]=-Eoa で一応問題の答えはこれであっているのですが、このような計算過程でいいのでしょうか？ 次のC2では、自分は、 ∫_c2E→・(dx,dy,dz)=∫_c2 (Eo,0,0)・(dx,dy,dz) ここで、x=acosθ、ｙ=asinθとおき、 dx=-asinθdθ、dy=acosθdθ θの変化は、0→π/2で、 上式=∫Eo・(-asinθdθ)=[Eoa・cosθ]=Eoa としました。 この問題の答えは、Eoaπ/2となると思うのですが。。。 確実にC2の場合は自分の計算は間違っていると思います。 どなたか説明して頂けませんか？ お願いします。 同じくC1についても間違いのある点をご指摘して頂ければ幸いです。 お願いします。
- lirva-314
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siegmund です． 電磁気学(今は静電気の話ですね)で出てくる線積分は ∫_c (E→)・(dl→) (見やすいように括弧をつけました)の タイプが普通です． これは，電場がもともと力であること(単位電荷に働く静電気力が電場)と， 仕事との関係から来ています． 仕事は最もナイーブには (力) 掛ける (距離)ですが， 力の方向と動く方向とが違っていれば内積になります． また，動いている間に一般には力が変わります． したがって，微小距離 (dl→) 動いたときの仕事(単位電荷あたり)が (E→)・(dl→) で，これを足し合わせたものが線積分と考えればよいのです． lirva-314 さんは C2 の計算で内積を成分できちんと処理されています． (E→) は常に x 方向を向いているのに対して， (dl→) は方向が場所によって変わるものの大体 -x 方向を向いています(端の点Ａを除く)． 第１象限の 1/4 円に沿っているのですから当然ですね． ですから，(E→)・(dl→) は常に負で(端の点Ａを除く)． その大きさは E_0 dl cosθですから E_0 dl より小さくなります． E_0 dl を C2 に沿って線積分すれば当然 －E_0 aπ/2 ですから (積分の方向と符号に注意)， 問題の答は負でその大きさは E_0 aπ/2 より小さいことが 具体的な積分計算をせずにわかります． 線積分には他にも種類がありますが (たとえば，∫_c (E→)×(dl→)，外積になっている，など)， はじめに述べたように電磁気の話では今のタイプが一番ポピュラーです．
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- siegmund
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C1 は合っています． C2 もきちんとパラメーター表示をして正しく計算していますが， 最後のところでうっかりしました． [Eoa・cosθ] で，上端がπ/2，下端がゼロですから， 結局 -Eoa が答です． Eoaπ/2 にはなりません． 問題で与えられたベクトル場 Ｅ→＝（Eo,0,0) は保存力場ですから， 線積分の両端点が同じなら積分値は径路によりません．
お礼
なるほど、ありがとうございました。 保存力についてまだしっかり理解できてないようなので、とりあえずがんばります。 ところで、自分は 曲線C: x^2+y^2=a^2,z=0について 周回積分∫_cdl を求めよ、という問題の答えが、2πaとなることから、、経路C2では円の1/4なので、Eoaπ/2が答えだと予想したのですが。 線積分の計算式は、∫_cE→・dl→ であると、教科書で読んだのですが、 周回積分と質問の線積分は、関連性がなく、全くの別物なのでしょうか？ 質問が重複してしまい申し訳ありません。
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