線積分

質問

ベクトル場F=xy e_x-z e_y+x^2 e_zとスカラー場φ=2xyz^2について、曲線Cをt=0からt=1にいたる空間曲線x=t^2,y=2t,z=t^3とするとき、次の線積分を経路Cに沿って計算せよ。
(1)∫[C] F × dr
(2)∫[C] φ dr

ただし、F,e_x,e_y,e_z,drのrはベクトルである。

です。途中式もお願いします。

回答No.3

transcendental · ベストアンサー

（１）C：ｒ＝（ｔ＾２、２ｔ、ｔ＾３）とすると、
∫[C]F×ｄｒ＝（∫[C]｛－ｚｄｘ－ｘ＾２ｄｙ｝、∫[C]｛ｘ＾２ｄｘ－ｘｙｄｚ｝、∫[C]｛ｘｙｄｙ＋ｚｄｘ｝）
各積分を計算すると、
∫[C]｛－ｚｄｘ－ｘ＾２ｄｙ｝＝∫[0 to 1]｛－３ｔ＾５－２ｔ＾４｝ｄｔ＝－９/１０．
∫[C]｛ｘ＾２ｄｘ－ｘｙｄｚ｝＝∫[0 to 1]｛－４ｔ＾５｝ｄｔ＝－２/３．
∫[C]｛ｘｙｄｙ＋ｚｄｘ｝＝∫[0 to 1]｛４ｔ＾３＋２ｔ＾４｝ｄｔ＝７/５．
すなわち、
∫[C]F×ｄｒ＝（－９/１０、－２/３、７/５）
となりました。
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※計算ミス、打ちミスがあるかもしれません。

回答No.2

info222_

No.1です。

(1)
>∫[C] F × dr
この式で正しいのであれば

F × dr=(xy e_x-z e_y+x^2 e_z)× d(x e_x+y e_y+z e_z)
　=(xy e_x-z e_y+x^2 e_z)× (e_x dx+ e_y dy+ e_z dz)
　=xy(dy e_z- dz e_y) -z(dz e_x-dx e_z)+(x^2)(dx e_y-dy e_x)
x=t^2,y=2t,z=t^3なので
　=2t^3*(2dt e_z-3t^2 dt e_y)-t^3*(3t^2 dt e_x-2tdt e_z)
　+t^4*(2tdt e_y-2dt e_x)
　=-(3t^5+2t^4)dt e_x+(2t^5-6t^5)dt e_y+(4t^3+2t^4)dt e_z
　=-(3t^5+2t^4)dt e_x-(4t^5)dt e_y+(4t^3+2t^4)dt e_z

したがって 曲線Cに沿ってt=0からt=1まで積分すると
∫[C] F × dr
=∫[0,1] {-(3t^5+2t^4) e_x-(4t^5) e_y+(4t^3+2t^4) e_z} dt
={-(3/6)+(2/5)} e_x-(4/6) e_y+{(4/4)+(2/5)} e_z
=-(1/10)e_x-(2/3)e_y+(7/5)e_z　…（答）

回答No.1

info222_

(1)
>∫[C] F × dr
この「F × dr」は内積の「F・dr」ではないですか？
「×」だとベクトル積（外積）になります。
間違いないか、確認して下さい。

(2)
φ=2xyz^2,
C:x=t^2,y=2t,z=t^3 (t=0→1)
I=∫[C] φ dr=∫[C] 2xyz^2 {(e_x)dx+(e_y)dy+(e_z)dz}
=∫[0,1] 4t^9 {(e_x)2tdt+(e_y)2dt+(e_z)3t^2 dt}
=∫[0,1] {(e_x)8t^10+(e_y)8t^9+(e_z)12t^11}dt
=(8/11)e_x+(8/10)e_y+(12/12)e_z
=(8/11)e_x+(4/5)e_y+e_z …（答）

補足

間違いないです。
×になってます。