微積の問題です。

質問

以下のような問題に頭を悩ませております。
ふたつの関数f(x),g(x)は次の（I）（II）をみたしている。
この時次のf(x),g(x)をそれぞれ求めなさい。
（I）f(x)=πcosx+∫[π→x]g(t)dt
（II）g(x)=cosx+（2/π）∫[0→x]f'(t)dt
[]内は積分範囲
この問題の解答が、次のようになっております。
??に挟まれた部分が私の疑問です。

（I）の両辺をxで微分して、
f'(x)=πcosx+g(x)
?何故πcosxなのか。πsinxではないのか?

上式を（II）ヘ代入して、
g(x)=cosx+（2/π）∫[0→π]{πcost+g(t)}dt
?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか?

⇔g(x)=cosx+（2/π）∫[0→π]g(t)dt　（Ａ）
上式の積分項は定数。
以下省略
（Ａ）の積分項が０と分かり、
従って
g(x)=cosx
f(x)=πcosx+sinx
となっております。解答に記載されている式変形が理解できません。
分かる方、お教え頂けないでしょうか。

回答No.2

kts2371148 · ベストアンサー

type-RRR さんが問題や解答を写し間違えたりしていなければの話ですが、
かなりひどい解答ですね。
答えを（II）に代入してみれば、解答が間違っていることはすぐにわかります。

>> ?何故πcosxなのか。πsinxではないのか?

πcosx の微分は、－πsinx です。

>> ?積分範囲は何故[0→π]に変わったのか。[0→x]ではないのか?

当然、[0→x]であるべきです。

というわけで、（問題が正しいという前提で）
正しい計算をすると、得られる式は

g(x) = ??? + ???∫[0→x] g(t) dt

となります。これを微分すると、１階線形微分方程式になり、
微分方程式を解くと g(x) が得られます。

計算はご自身でやってみて下さい。正しい解答は、

g(x) = { 1 / (π^2 + 4) }
　　　　　　{ 6πsinx + 3π^2cosx + (-2π^2 + 4) e^(2x/π) }
f(x) = { 1 / (π^2 + 4) }
　　　　　　{ 3π^2sinx + (π^3 - 2π)cosx + (-π^3 + 2π) e^(2x/π)
　　　　　　　　　- 6π + (π^3 - 2π) e^2 }

となります。

お礼

やはり解答が間違っていましたか。
あまり良くないテキストのようで…。

丁寧な回答をありがとうございます！

回答No.1

kkkk2222

最初から、
（I）f(x)=πsinx+∫[π→x]g(t)dt
　　　　　　　↑
（II）g(x)=cosx+（2/π）∫[0→π]f'(t)dt
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
の誤植であるならば、

f(π)=0
f'(x)=πcos+g(x)

　　（2/π）∫[0→π]f'(t)dt=Ａなる 定数なので、

g(x)=cosx+Ａ
f'(x)=πcos+cosx+Ａ

　　（2/π）∫[0→π](πcost+cost+Ａ)dt=Ａ
　　（2/π）∫[0→π]Ａdt=Ａ
　　（2/π）(πＡ)=Ａ
　　Ａ=0

g(x)=cosx
f(x)=πsinx+sinx
　　　　　↑

あまりに、誤植がひどすぎて、市販のＴＥＸＴとは思えまん。

お礼

やはり誤植ですよね。
確信をもてました。
ありがとうございます！