3次の定積分の問題です。

質問

(1)　∫(x-α)(x-β)g(x) dxの定積分(区間：-1→1)が0となるときのα、βを求めよ。
　　　ただし、g(x)は1次関数である。

(2)　∫f(x) dx = f(α)+f(β)　(積分区間：-1→1)を証明せよ。
　　　f(x)は3次関数である。

という問題です。
(1)はg(x)=ax+bとおいて計算してみたのですが、
　a≠0よりα+β=0
　b≠0のときα=1/√(3)、β=-1/√(3)
　　　　　またはα=-1/√(3)、β=1/√(3)
というスッキリしない回答になってしまいました。
また、(2)を見据えた答えにならずよくわかりません。

途中計算も含めて御解答していただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#130496 · ベストアンサー

(2)
任意の3次式f(x)は、ある1次式g(x)と、1次式または定数h(x)について、
f(x)=(x-α)(x-β)g(x)+h(x)
と表せると思います。
このことと、(1)で得られたαとβの性質からすぐ分かりそうです。
ただし(1)の問題が#1の解釈通りだと仮定しての話。

お礼

さらに項を追加する必要があったのですね。
御回答ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

ヒントを書いとく。計算が嫌だから、計算は自分でやって。

(1)はaとbについての恒等式。
(2)は(1)で　g(x)＝x-γ　としただけ。f(x)＝(x-α)*(x-β)*(x-γ) だから f(α)＝f(β)＝0　→　f(α)+f(β)＝0

以上がわかれば、単なる計算問題。

お礼

御回答ありがとうございました。

回答No.1

dieucreateur

おそらく、で申し訳ないですが、
g(x)は任意であらゆる一次関数に対して、でないでしょうか？

そのとき、g(x)＝ax+b　と置くならば条件は
（α+β）ａ－（３αβ＋１）ｂ＝０　であり、
aとbの恒等式なのでα+β＝０　かつ　３αβ＋１＝０
よって、α=1/√(3)、β=-1/√(3)
　　　　　またはα=-1/√(3)、β=1/√(3)

（２）ですが、三次関数が（１）のように因数分解できるときは（１）から言えますが、
そうでないときについてはわからないです。
これについてはほかの人にお任せします。

お礼

おっしゃる通り「任意」でです。
御回答ありがとうございました。